Alguien me puede ayudar a resolver el problema de asintotas verticales, horizontlaes y oblicuos de
Y= (Xe^x)/(e^x-1)

Hola, bienvenida al foro.

(25-02-2018 10:59)Edith escribió:  Alguien me puede ayudar a resolver el problema de asintotas verticales, horizontlaes y oblicuos de
Y= (Xe^x)/(e^x-1)

¿Qué intentaste? ¿Sabés cómo hallar una asíntota vertical, horizontal u oblicua? Entiendo que la función es \[f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x-1}.\]

Decinos hasta dónde llegaste para poder ayudarte mejor.

Saludos

Yo se que para hallar la asintota vertical tengo que hallar el lim que tiende a 0. X lo cual estoy en un caso 0/0... racionalizar no puedo porque no tengo raices, sen x/x=1 no tiene nada que ver por lo que me queda factorizar. Pero no llego a nada. No se como arrancar

Hola

No es hora, pero para resolver las indeterminaciones del tipo 0/0 e ∞/∞ podés utilizar L'Hopital y luego comprobar si hay indeterminación, o bien hacer uso de la serie de e^x que también funciona. En cualquier caso estudiá los límites laterales para ±∞ de la función ya que arrojan resultados distintos.

Saludos

No nos dejan usar L'Hospital por eso no se como llegar al resultado. Que por este metodo es 1 pero no nos dejanusar ese metodo

Hola

Para determinar las asíntotas horizontales estudiaremos los límites cuando x → ±∞.

\[\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{xe^x}{e^x-1}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{x}{1-\frac{1}{e^x}}=\dfrac{+\infty}{1}=+\infty,\]

no hay asíntota horizontal a derecha. Calculemos la oblicua. Para eso es cómodo escribir \[f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x-1}=x\left(1+\dfrac{1}{e^x-1}\right),\]

entonces

\[m=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{e^x-1}\right)=1+0=1\\b=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x-1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x+\frac{x^2}{2!}+\cdots}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{x}{2!}+\cdots}=\frac{1}{+\infty}=0.\]

Por tanto la asíntota oblicua a derecha es y = x.

Veamos qué sucede cuando x → -∞:

\[\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}\dfrac{xe^x}{e^x-1}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}\dfrac{x}{1-e^{-x}}=\displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{}\dfrac{y}{e^y-1}=\displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{}\dfrac{y}{y+\frac{y^2}{2!}+\frac{y^3}{3!}+\cdots}=\displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{1+\frac{y}{2!}+\frac{y^2}{3!}+\cdots}=\dfrac{1}{\infty}=0,\]

y por tanto la asíntota horizontal a izquierda es y = 0.

El análisis de la asíntota vertical te lo dejo a vos.

Saludos