Hola a todos, estoy preparando el final de AM I pero hay un par de ejercicios que no me salen y no tengo las respuestas como para guiarme tampoco. Estoy haciendo un ejercicio que me dice lo siguiente:

Pruebe que si para \[\forall x\in R\] se verifica \[x.sen(\pi x)=\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt\] con f continua en R, la funcion se anula en el intervalo (1,4).

Primero lo que hice fue derivar a ambos miembros para asi despejar f(x) y por Bolzano hallar un valor entre (1,4) donde la funcion se haga 0 (se anule). No se si deberia hacerlo asi, pero la cuestion es que al derivar a ambos miembros me queda f en funcion de x^2 no en funcion de x.

\[sen(\pi x)+x.cos(\pi x).\pi =f(x^{2}).2x\]

\[f(x^2)=\frac{\pi }{2}cos(\pi x)+ \frac{sen(\pi x)}{2x}\]

Como sigo a partir de aca? Muchas gracias

Aplicas Bolzano directamente, solo tenes que reemplazar con cuidado:

\[[1,4]\]
\[1 = x^2 => x = 1 \vee x = -1 \]
\[4 = x^2 => x = 2 \vee x = -2\]

Ahora evaluas f(x^2) entre 1 y 2 para que al reemplazar te quede:

\[f(2^2) - f(1)\]

Siendo
\[f(2^2) = \frac{\pi}{2} cos(2\pi) + \frac{sen(2\pi)}{4} \]

Creo que se hace así, esperemos que alguien mas vea el thread

Osea que el valor de x que busco tal que la funcion se anule tiene que estar entre - 1 y -2 o 1 y 2??