es un verdadero o falso

dice:
si f es una función derivable tal que la recta tangente en el punto ( 1,f(1)) es y= 2x +6 entonces la recta normal a g(x) = \[f^2( -ln x - e^2 x) \] en el punto (e^-2 ,g(e^-2)) es y= x-3

(11-12-2013 16:21)don nadie escribió:  es un verdadero o falso

dice:
si f es una función derivable tal que la recta tangente en el punto ( 1,f(1)) es y= 2x +6 entonces la recta normal a g(x) = \[f^2( -ln x - e^2 x) \] en el punto (e^-2 ,g(e^-2)) es y= x-3

Primero que nada, planteate la recta tangente:
\[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]
Entonces lo que vas a hacer es fijarte con la recta tangente que te da, cuánto vale la derivada y cuánto vale f(1). Para esto, es una simple igualdad de dos polinomios. Por la recta que te dan, que es \[y= 2x + 6\]. Como es la recta tangente en x=1, entonces:
\[y=f'(1)(x-1)+f(1)\]
Sabés con la fórmula anterior que la pendiente de la derivada es 2. por lo que te queda averiguar cuánto vale f(1). Entonces:
\[y=2(x-1)+f(1) \], esta recta debería ser igual a la que te dieron. Entonces, distribuyendo:
\[y=2x+[-2+f(1)]\] el término independiente, debe ser igual a 6. Entonces:
\[-2+f(1) = 6\]
\[f(1) = 8\]
Ahora ya tenés que f'(1)=2 f(1)=8. Lo que tenés que hacer ahora es derivar g(x)
\[g(x)=f^2( -ln x - e^2 x)\]
\[g'(x)=2f( -ln x - e^2 x)*(-\frac{1}{x}-e^2)\]
Sabés que la fórmula de la normal es:
\[Y=-\frac{1}{g'(a)}(x-a)+g(a)\]
Que como te lo pide en e^-2:
\[Y=-\frac{1}{g'(e^-^2)}(x-e^-^2)+g(e^-^2)\]
Y acá es sólo reemplazar en g'(x), de donde te termina quedando:
\[g'(e^-^2)=2*f(1)*(-2e^2)\]
\[g'(e^-^2)=-32e^2\]
Y luego en g(x) reemplazando también:
\[g(e^-^2)=f^2( -ln e^-^2 - e^2 e^-^2)\]
\[g(e^-^2)=f^2(1)\]
\[g(e^-^2)=64\]

Finalmente reemplazando en la ecuación de la recta normal:
\[Y=-\frac{1}{-32e^2}(x-e^-^2)+64\]
\[Y=\frac{1}{32e^2}x-\frac{1}{32e^4}+64\]

Te queda así, a menos que me haya equivocado cuando reemplazaba. Igual también podías averiguarlo sin sacar la recta normal... sólo con esto \[g'(e^-^2)=-32e^2\] ya sabías que la pendiente de la normal no era 1 (porque para esto, la de la recta tangente tenía que ser -1), -tal como es en Y=x-3-. Así que en primer instancia era falso.

Una duda que me surgió cuando lo hacía, (debido al resultado que da) me quedé pensando si g(x) era g(x) = \[f^2( -ln x - e^2 x) \] o si en realidad era:
g(x) = \[f^2( -ln x - e^2^x) \], porque si es de la última forma cambiaría todo...
Digo porque capaz se había copiado mal cuando lo escribiste acá, y daba un resultado más "lindo"