Gente necesito su ayuda una vez más, es un ejercicio en el que se aplica el Teorema de Lagrange,

Verificar las desigualdad:

\[b^{n}-a^{n}<n b^{n-1}(b-a)\] con 1<a<b (n perteneciente a \[\mathbb{R} \] y n>1)


Dejo un ejercicio similar que si me salió:


\[ ln(1+a)\leq a \] \[ \forall a>0\]

Armo una función:

\[ f(x)= ln(1+x)-x \]

Y un intervalo [0;x ]

Utilizamos teorema de Lagrange :
- Verifico hipótesis f(x) es continua en [0;x ] porque es suma de dos funciones continuas
\[ f'(x)=\frac{1}{1+x} -1 \]

Entonces (x) es derivable en (0,x)

Entonces puedo aplicar el Teo de Lagrange

\[ f'(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]

\[f(x)= f'(x).x+f(0)\]


\[f(x)= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )\]

\[ln (1+x)-x= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )\]


c según el Teorema pertenece a (0,x)

c>0
c+1>0+1
\[\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0\]
\[x\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0\]
\[f(x)\leq 0\]


ASÍ QUEDÓ DEMOSTARADA LA DESIGUALDAD,


LO MISMO TENGO QUE HACER CON LA PRIMER DESIGUALDAD PERO NO SE NI QUÉ FUNCIÓN PONER,NI EL INTERVALO,