Gente necesito su ayuda una vez más, es un ejercicio en el que se aplica el Teorema de Lagrange,

Verificar las desigualdad:

$$b^{n}-a^{n}<n b^{n-1}(b-a)$$ con 1<a<b (n perteneciente a $$\mathbb{R}$$ y n>1)


Dejo un ejercicio similar que si me salió:


$$ln(1+a)\leq a$$ $$\forall a>0$$

Armo una función:

$$f(x)= ln(1+x)-x$$

Y un intervalo [0;x ]

Utilizamos teorema de Lagrange :
- Verifico hipótesis f(x) es continua en [0;x ] porque es suma de dos funciones continuas
$$f'(x)=\frac{1}{1+x} -1$$

Entonces (x) es derivable en (0,x)

Entonces puedo aplicar el Teo de Lagrange

$$f'(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$

$$f(x)= f'(x).x+f(0)$$


$$f(x)= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )$$

$$ln (1+x)-x= x \left ( \frac{1}{1+c} -1\right )$$


c según el Teorema pertenece a (0,x)

c>0
c+1>0+1
$$\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0$$
$$x\left ( \frac{1}{1+c} -1\right )<0$$
$$f(x)\leq 0$$


ASÍ QUEDÓ DEMOSTARADA LA DESIGUALDAD,


LO MISMO TENGO QUE HACER CON LA PRIMER DESIGUALDAD PERO NO SE NI QUÉ FUNCIÓN PONER,NI EL INTERVALO,