Estoy preparando el final de AM1 para esta semana y nose como se hace este ejercicio.

Determine el punto sobre la grafica de la hiperbola de ecuación x*y = 8 que está mas próximo al punto (3,0).

Ni idea con que se resuelve o como se encara

ayuda

Emm, así a simple vista, probá graficar la hipérbola, el punto y formá un triángulo rectángulo y usando la fórmula de Pitágoras tenés ahí para reemplazar y optimizar usando la derivada de la función. No quiero frutear pero si puedo te lo paso, hay que optimizar.

la hiperbola es y= 8/x

Tenemos un punto (a,b) generico, que en teoria es el mas cercano al (3,0)
Para hallar la distancia armas un vector desde este punto generico al punto (3,0) y la norma (osea el modulo) es la distancia. Tenes que buscar que esa distancia sea minima.

Entonces: el vector es (3-a;-b) y su normal sera la \[ sqrt((3-a)^2 + b^2)\]
Este vector lo arme de hacer el vector entre dos puntos: (3,0)- (a,b)
Pero por la relacion de la funcion, sabes que y=\[-8\over x\] es decir que el punto de la segunda coordenada es el num 8 dividido la segunda coord . Asi reemplazas -b por \[-8\over 3-a\] quedandote una funcion escalar que solo depende de a
\[G(a)=sqrt((3-a)^2 + (-8/(3-a))^2\]
Esta la optimizas derivando y bla.. Yo lo haria asi

espero que te sirva !

Che gonza eso no es de A.MII lo vas a matar al pibe !
Mira:por lo que se.
Primero despejas Y.

x*y = 8 entonces y=(8/x)

Ahora usas la fórmula de distancia entre dos puntos \[d(a,b)=sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)\] a y b son la coordenadas en x e y del punto respectivamente.El punto es (3,0).
Entonces a=3, b=0 y y lo reemplazas por 8/x que es la función y te queda así:

\[d(a,b)=sqrt((x-3)^2+(x/8-0)^2)\]

Lo cual te queda:

\[d=sqrt((65/64)*x^2-3x+9)\]

Y ahi tenés la función relación.
Para operar más cómodo podés sacar la raiz cuadrada y elevar la función al cuadrado así.

\[d^2=(65/64)*x^2-3x+9\]

Ahora,optitimizamos del modo conocido:derivando.

\[2d*d'=(65/32)*x-3\]

Despejamos d' y nos queda:

\[d'=((65/32)*x-3)/2d\]

de ahi sacamos que la derivada primera tiene que dar cero (o sea d'=0) como la función distancia es siempre positiva lo que tiene que valer cero es lo de arriba.

(65/32)*x - 3=0

o sea (65/32)*x=3

entonces x=(3*32)/65

x=96/65

Para verificar usalo como fracción pero da aproximadamente 1.477.
Ahora tenés que derivar por segunda vez,para verificar si es un máximo o un mínimo.Recorda que vos buscas un mínimo,es decir la mínima distancia y por lo tanto la derivada segunda debe ser mayor que cero.

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NOTA LOCA:A partir de este punto NO ESTOY SEGURO de si lo que estoy haciendo esta bien,asi que otro tendrá que venir a confirmar si lo que digo es correcto o no .


Aca tengo un par de dudas yo porque no me acuerdo como era un paso,creo que la derivada te dá.

\[d''=(65/32)-d'*((65/32)*x-3)))/2d\]

Pero no estoy seguro.
En cualquier caso,si la derivada segunda es como dije,nuevamente sabes que la distancia es siempre positiva por lo tanto el signo lo determina lo de arrriba.Reeemplaza x por 95/65 y comprobalo.

Ahora viene la parte de la que sí estoy seguro.

Si lo de arriba te da mayor que 0 es un mínimo local y la respuesta es el punto (95/65,f(95/65)).
f(95/65)=(95/65)/8 o sea 95/(65*8)=19/104.
Es decir,el punto es: P={((96/65),(19/104))}

Si lo de arriba te da menor que 0 es un máximo y lo que sacaste es la máxima distancia y la distancia mínima no existe.

Ojo si la derivada te da dos puntos porque ahi tenés que fijarte en la derivada segunda cual te da mayor que cero,porque lo que buscas es un máximo y no un mínimo.

Igual espero que alguien corrobore si lo que hice es cierto o no .
Saludos!

le explicaste lo mismo que yo, solo que yo le explique como armar la funcion, y vos eso y ademas se lo resolviste; supuse que sabia optimizar, porque no sabia encararlo dijo..

Bueno, por algo vos sos colaborador y yo no

Es verdad,recíen ahora lo veo..
Che,ya que estás.¿Que decís la derivada esta bien o tiene algún error?
Mierda me estoy olvidando todo y eso que di final hace poco =D.

mira, yo por costumbre no hacia eso de elevar al cuadrado y derivar estando al cuadrado
en am2 te cambian esa perspectiva pero en am1 no jajaaj
confio en ud mister colaboreidor

el criterio esta bien usado, supongo que habras derivado bien jajaja
asiqe si, demosle un voto de confianza (media ciega por cierto )

muchas gracias gente. Igual ya hice AM2. Es un final colgado que tengo desde hace 3 años jaja. Gracias a todos de vuelta

entonces rulo la tenes adentro jajajaja

che rulo, ahora cai; cometiste un error.
Una boludez, pero un profesor te diria "Ees un GROSERO error CONCEPTUAL" y te tacha todo el ejercicio xD sobre todo en AM2 en ecuaciones diferenciales.

Cual es tu error ? cuando derivas la primera vez, lo que haces es elevar al cuadrado, y luego pasas la "y" (osea, la D) dividiendo.
De esta manera es mas comodo, porque al derivar no tenes raiz, pero, cual es el problema ? estas perdiendo un valor
es decir, si la expresion esa de "raiz de .." fuese 0, no podes pasar dividiendo, porque no se puede dividir por cero.
Esta bien, si no veo mal, ahi nunca va a dar cero, pero que pasa si en otro ejercicio diese 0 ?
peor aun, que pasa si un punto critico (osea, hace g'(x)=0)era justo el que g(x)=0 ? al tener dividiendo por y (osea dividido por g(x)) perdes ese valor, y nunca lo vas a obtener.
Osea que te van a re hinchar las pelotas.
Aca da, porque si no veo mal, esa raiz nunca sera 0, pero en otros caso puede no serlo.
Asique si queres hacer asi, tenes que aclarar que x es distinto de <el.valor.que.anula.la.funcion.g(x)>, asi la pasas dividiendo, evaluas G'(x) para que sea 0, y luego calculas aparte ese valor que no consideraste.. O...

no eleves al cuadrado, y derives todo como esta
Es una boludes, seguro me decis eso, pero espero que hayas entendido mi ejemplo, y si fue asi, te das cuenta que por esa boludez, pueden tacharte todo el ejercicio y perder el punto por una boludez

dep si seguis sin entender que te digo, decime y te explico mejor (?) jajaa pero creo que lo vas a entender
pff, deberia estar estudiando am2, en vez de respondiendo esto xD

Si,posta alto FAIL para mi jaja.Pasa que bueno,muchos profes lo ponen así y en el final me lo pusieron bien eso asi que asumi que estaba bien,pero es totalmente cierto lo que decís.

Genteeee aprobeee y con 7 ajaja. Una manera de robar terrible. Todavía no tengo idea lo que es taylor y tantas otras cosas

gracias a todos

jajaja
bueno no te preocupes, hay mas de un ingeniero ladron por ahi dando vueltas (?
jaja felicitaciones !

sisi mi meta es ser otro de esos ladrones jajaja