buenas, les dejo un ejercicio que tomo el profesor martin pavon.
no pude resolverlo bien, se que tendria que usar esfericas pero no se si esta muy bien.
el ejercicio decia sacar el bolumen de la integral y V era el recinto de la integral
   

Efectivamente en esfericas sale de taquito, la integral a resolver es

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Perdon esa seria la integral si fuese solo la ec del cono y la esfera (pongo en spoiler la respuesta que te di antes)... no vi las otras restricciones ... y ahora que las veo no entiendo la letra que dice ???

esta es la intrgral
\[\int \int \int \left ( \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right )dxdydz\]
y este es el V
\[0\leq z\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
\[1\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16\]
\[x\leq y\]
\[y\geq 0\]

Salvo error u omision los limites en esfericas son

\[\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{1}{r^2} r^2\cos w drdwd\theta\]

Interesante ejercicio, los límites de integración me parecen que están bien, pero si usas coordenadas esféricas, creo que el Jacobiano es Γ².senω, eso es lo único que cambiaría.

π/4 ≤ Θ ≤ π
π/4 ≤ ω ≤ π/2
1 ≤ Γ ≤ 4

me pareceque el limite de teta esta mal. para mi deberia ser de 0 a 2pi ya que estas en la base de la esfera y te da toda la vuelta