Holas, estoy tratando de hacer un ejercicio pero no logro dilucidarlo:

Calcule \[\left | \vec{x} \right |\] sabiendo que \[\vec{a}\] es ortogonal a \[\vec{x}- \vec{a}\], \[\left | \vec{a} \right | = 2\] y el ángulo que forman \[\vec{x}\] y \[\vec{a}\] es \[\frac{\pi }{4}\].

Rta: \[\left | \vec{x} \right | = 2 \sqrt{2}\]

Si a es ortogonal a (x-a), entonces su producto escalar es 0, es decir:

\[a . (x-a) = |a| . |x-a| . cos (pi/4)\]

\[0 = |a| . |x-a| . cos (pi/4)\]

Fijate si con eso lo podes sacar , sino preguntá

Bueno, voy a ver que se me ocurre.

Buenas,
Mira... primero graficalo para darte cuenta, es un triangulo.. donde X es la hipotenusa, "a" es el cateto adyacente y "x-a" es el cateto opuesto al angulo que te dan, vas a ver que necesitas usar el Coseno y despejar.

Cualquier cosa consulta.

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No habia visto que te respondió Sentey

bueno gracias por las respuestas, muy amables. Voy a tratar de encararlo así, aunque aún no lo veo con mucha claridad. En mi gráfico no me quedo el x-a como un cateto. Yo grafiqué x +(-a) con el metodo de la triangular y como que no lo vi. bueno intentaré mañana y sino le pregunto a la profesora.

saludoss y gracias

Aca te adjunto la imagen y como se hace.

Saludos

mira lo trate de hacer y mirando el grafico te das cuenta, que .

el angulo entre x y a = 45º
y si son ortogonales, el angulo de X - a y a= 90º

y mirando el grafico, haciendo la regla del paralelogramo, te das cuenta que

|A|= |x-a|

y, |x| = A . x-a

entonces

\[|x|=4.cos(\frac{\pi }{4}) \Rightarrow 2\sqrt{2}\]



pero, como "mirando el grafico" no es una respuesta valida, tiene que haber una forma analitica para deducir eso, sin mirar el grafico. pero ami no se me ocurrio nada.

Mirando el grafico no es la respuesta, pero la usas para guiarte, para eso te da el x-a y te dice que es ortogonal.

De manera analitica......si son ortogonales

\[a(x-a)=0\quad (1)\]

por defincion de angulo de vectores

\[(a.x)=|a||x|\cos\alpha\quad (2)\]

de (1) x=a reemplazo en (2)

\[(a.a)=|a||x|\frac{1}{\sqrt{2}}\]

por propiedad de producto de vectores

\[|a|^2=|a||x|\frac{1}{\sqrt{2}}\]

sacando factor comun y pasando todo al primer miembro tenes

\[|a|(\sqrt{2}|a|-|x|)=0\]

resolviendo

\[|x|=2\sqrt{2}\]