Bueno, acá está el enunciado:

Sea \[B= \left \{ v_{1}=(1;1;2), v_{2}=(0;a;b),v_{3}=(0;b;c) \right \} \epsilon \mathbb{R}^{3}\]

Hallar los números reales a; b y c, si existen, para que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

\[A=\left \{ v_{1};v_{2} \right \}\] sea una base del subespacio \[S=\left \{ (x;y;z)\epsilon \mathbb{R}^{3}/ x+y-z=0 \right \}\]

\[B\] sea base de \[\mathbb{R}^{3}\] y las cordenadas del vector \[w=(1;-1;-7)\] en la base \[B\] sean: \[\left [ w \right ]_{B} = (1;-3;2)^{^{t}}\]

Ideas?

(05-07-2013 16:13)harryy escribió:  Bueno, acá está el enunciado:

Sea \[B= \left \{ v_{1}=(1;1;2), v_{2}=(0;a;b),v_{3}=(0;b;c) \right \} \epsilon \mathbb{R}^{3}\]

Hallar los números reales a; b y c, si existen, para que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

\[A=\left \{ v_{1};v_{2} \right \}\] sea una base del subespacio \[S=\left \{ (x;y;z)\epsilon \mathbb{R}^{3}/ x+y-z=0 \right \}\]

\[B\] sea base de \[\mathbb{R}^{3}\] y las cordenadas del vector \[w=(1;-1;-7)\] en la base \[B\] sean: \[\left [ w \right ]_{B} = (1;-3;2)^{^{t}}\]

Ideas?

Buenas, yo empezaría por el dato de la base. Sabés el vector (1;-1;-7) puede ser expresado con los vectores del espacio B, lo que vendría a ser:
\[1(1;1;2)-3(0;a;b)+2(0;b;c)=(1;-1;-7)\]
Te van a quedar tres ecuaciones y podés despejar, por ejemplo, a en función de b y c en función de b.

También sabés que si \[{ v_{1};v_{2}}\] forman el plano \[S=\left \{ (x;y;z)\epsilon \mathbb{R}^{3}/ x+y-z=0 \right \}\], una combinación lineal de los vectores v1 y v2 deberían darte el plano. osea:
\[\alpha (1;1;2)+\beta (0;a;b)=(x;y;x+y)\] Donde directamente en vez de poner z, podés poner x+y, que surje del despeje de la ecuación del plano. Acá parece que hay muchas variables pero se te van eliminando, la idea siempre es la misma, te van a quedar tres ecuaciones que tendrás que despejar las letras.

Cuando tengas las tres variables a, b y c, podés usar el dato que te dieron de que los tres vectores generan r3, si esto es así deberían ser LI, lo cual se debería comprobar haciendo el determinante y verificando que dé distinto de cero.

Fijate si con eso podés arrancarlo y si tenés una duda puntual preguntá.