Hola gente como andan?

Bueno estoy aca con 2 ejercicios de TL de la guia complementaria que no me salen. Estos dicen asi:

52. Dada la funcion:

\[f:\mathbb{R}^{3}-->\mathbb{R}^{3}/f(x)= AX\]

\[A=\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}\]

a) Encuentre el conjunto imagen de la funcion y justifique por que es un subespacio.
b) Halle todos los vectores cuya imagen es el mismo vector (AX = X). ¿Cual es la interpretacion geometrica?

56. Halle la expresion de una TL \[T: \mathbb{R}^{3}-->\mathbb{R}^{3}\] tal que:

\[Nu(t)=\left \{ (-2,1,0) \right \}\]

Imagen de T: vectores posicion incluidos en el plano: Q: x + 2y -3z = 0

Esos son. Espero que me puedan ayudar .

Un abrazo.

56) Con vectores posicion de ese plano, se refieren a los generadores del mismo, encontra cuales son, luego para definir T simplemente tomas dos vectores LI del espacio de salida, los que mas te gusten, me refiero a hacer

\[\\T(-2,1,0)=(0,0,0)\\T(1,0,0)=(?,?,?)\\T(0,1,0)=(?,?,?)\]

donde ??? seran los generadores del plano

el otro banca que lo pienso

(18-11-2012 16:37)Saga escribió:  56) Con vectores posicion de ese plano, se refieren a los generadores del mismo, encontra cuales son, luego para definir T simplemente tomas dos vectores LI del espacio de salida, los que mas te gusten, me refiero a hacer

\[\\T(-2,1,0)=(0,0,0)\\T(1,0,0)=(?,?,?)\\T(0,1,0)=(?,?,?)\]

donde ??? seran los generadores del plano

el otro banca que lo pienso

Como encuentro los generadores del plano?

(18-11-2012 17:08)Gonsha escribió:  Como encuentro los generadores del plano?

a esta altura ...... como sabes la normal del plano esta generada por los vectores que estan en el plano, y ademas son perpendiculares entre si, sea (a,b,c) uno de los infinitos vectores en el plano, por ser perpendicular a la normal se cumple que

\[(a.b.c)(1,2,-3)=a+2b-3c=0\to a=-2b+3c\]

entonces los vectores que estan el el plano son de la forma

\[(-2b+3c,b,c)=b(-2,1,0)+c(3,0,1)\]

ahi tenes dos generadores de los infinitos que puede haber, podes verificar haciendo el producto vectorial entre ellos, te da la normal , se entiende ?

(18-11-2012 17:20)Saga escribió:  

(18-11-2012 17:08)Gonsha escribió:  Como encuentro los generadores del plano?

a esta altura ...... como sabes la normal del plano esta generada por los vectores que estan en el plano, y ademas son perpendiculares entre si, sea (a,b,c) uno de los infinitos vectores en el plano, por ser perpendicular a la normal se cumple que

\[(a.b.c)(1,2,-3)=a+2b-3c=0\to a=-2b+3c\]

entonces los vectores que estan el el plano son de la forma

\[(-2b+3c,b,c)=b(-2,1,0)+c(3,0,1)\]

ahi tenes dos generadores de los infinitos que puede haber, podes verificar haciendo el producto vectorial entre ellos, te da la normal , se entiende ?

Osea que en donde antes pusiste (???) ahora podría poner:

(-2,1,0) y (3,0,1) si le doy a b = c = 1?

(18-11-2012 17:56)Gonsha escribió:  Osea que en donde antes pusiste (???) ahora podría poner:

(-2,1,0) y (3,0,1)

Sí

Cita: si le doy a b = c = 1?

No necesariamente b y c son escalares distintos del nulo, podes poner el valor que vos quieras salvo el nulo obviamente, sino, no hay plano que formar, con otros valores te quedara una normal proporcional a la del plano, en esencia la misma normal, probalo, y verifacalo haciendo el producto vectorial

(17-11-2012 20:02)Gonsha escribió:  Hola gente como andan?

Bueno estoy aca con 2 ejercicios de TL de la guia complementaria que no me salen. Estos dicen asi:

52. Dada la funcion:

\[f:\mathbb{R}^{3}-->\mathbb{R}^{3}/f(x)= AX\]

\[A=\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0& & 0\end{pmatrix}\]

a) Encuentre el conjunto imagen de la funcion y justifique por que es un subespacio.
b) Halle todos los vectores cuya imagen es el mismo vector (AX = X). ¿Cual es la interpretacion geometrica?

Gonsha, falta un valor en la matriz, yo no tengo la guia para completarlo

(18-11-2012 20:38)Saga escribió:  

(17-11-2012 20:02)Gonsha escribió:  Hola gente como andan?

Bueno estoy aca con 2 ejercicios de TL de la guia complementaria que no me salen. Estos dicen asi:

52. Dada la funcion:

\[f:\mathbb{R}^{3}-->\mathbb{R}^{3}/f(x)= AX\]

\[A=\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0& & 0\end{pmatrix}\]

a) Encuentre el conjunto imagen de la funcion y justifique por que es un subespacio.
b) Halle todos los vectores cuya imagen es el mismo vector (AX = X). ¿Cual es la interpretacion geometrica?

Gonsha, falta un valor en la matriz, yo no tengo la guia para completarlo

Ahi lo corregi amigo . Perdon jeje.

la TL se define como

\[f:R^3\longrightarrow{R^3}/f(x,y,z)=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}\]

Aplicando la definicion de imagen obtenemos

\[\begin{bmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\overline{X}=(a,b,c)^t\]

de donde se deduce que c=0 por lo tanto el conjunto imagen se define como

\[Im (f)=\left\{x\in{R^3}/c=0\right\}\] geometricamente plano que contiene al origen, para justificar si es un subespacion solo aplica los axiomas correspondientes

Para el segundo item, simplemente es usar lo que nos dan como dato

\[AX=X\Longrightarrow{\begin{Bmatrix} 2x+y+z=x\\y+z=y\\0=z \end{matrix}}\]

despejando de manera habitual obtenes que \[y=-x \wedge z=0\] con lo cual obtenes

\[S=\left\{x\in{R^3}/x(1,-1,0)\quad x\in{R}\right\}\]

geometricamente una recta que pasa por el origen