Hola que tal, les quería consultar algunas dudas que tengo porque no tuve oportunidad de preguntárselas a mi profesor. Serían las siguientes:

VoF

\[\lim_{x\to 0}\frac{\int_{x^{3}}^{x^{2}}\frac{t^{6}}{1+t^{4}}dt}{x^{14}}=\frac{1}{7}\]

Es de los resueltos de fotocopiadora. En la resolución aplica derivada a numerador y denominador, resuelve y da verdadera. Una vez que deriva entiendo qué hay que hacer, lo que no entiendo es por qué razón se puede resolver ese límite calculando la derivada.


Este es de la guía:

20) Usando las propiedades generales de las series y de las series geométricas y armónicas generalizadas; indicar, si es posible, si CV o DV.

b) \[\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{\sqrt[3]{n}}-\frac{3}{\sqrt{n}})\]

En la guía dice que no es posible determinarlo y no entiendo por qué, para mi DV. Yo separé la sumatoria en dos sumatorias \[2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{\sqrt{n}}\] y ahí se puede ver claramente que son series armónicas generalizadas, con p= 1/3 y p=1/2 respectivamente, por lo que las dos DV. Quisiera saber cual es el error de mi planteo.


24) De ser aplicables los criterios de comparación, discutir la CV de:

f) \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\]

No se me ocurre como aplicar el criterio de comparación en esta, y se que se puede porque la guía lo dice. No tengo idea como comparar ninguna función que tenga factorial.

Gracias de antemano por su tiempo, saludos.

El V o F es porque cuando reemplazás con el 0 en x² y x³, integrás de 0 a 0, lo que por propiedades de integración te daría 0, la parte de abajo también da 0 (x¹⁴ reemplazado con 0 es 0) por lo tanto te queda una indeterminación y aplicás L'Hopital. Lo demás es ya tema de límite :B

20)b) No lo podés determinar porque por las propiedades de las series, si hacés el límite te da 0 y por el criterio necesario de convergencia cuando te da 0 no podés saber si diverge o si converge.

24) f) Si vas probando con el factorial y querés ver a qué es menor o mayor:

1! = 1 = 2⁰
2! = 2 = 2¹
3! = 6 < 2³
4! = 24 > 2⁴
5! = 120 > 2⁵
6! = 720 > 2⁶

Si te fijás, para los n! mayores que 3 se cumple: n! > 2^n (Por cola podés sacar los primeros términos, comenzando la serie desde n=4). Entonces:

n! > 2^n
1/n! < 1/(2^n) -> Es una SG de q= 1/2, que CV. Por lo tanto, 1/n! CV.

Sos un genio, me aclaraste todo, ya pensaba que nadie iba a contestar por estas épocas tan complicadas xD

Muchas gracias por la respuesta!

(15-11-2013 18:31)m68540534 escribió:  Sos un genio, me aclaraste todo, ya pensaba que nadie iba a contestar por estas épocas tan complicadas xD

Muchas gracias por la respuesta!

Soy una chica eh jaja de nada, me alegro que te haya servido!

AAh es que por el nombre no me di cuenta, y la foto solo me confundió más (? Gracias de nuevo