Gente tengo una duda con un ejercicio de algebra,
Como saco la ecuación de un subespacio que solo me dan, un gen {(2;0;8)}
:/

En la carpeta tengo todos con 2 o 3 :/

PD: No peguen!

El subespacio es una recta, y el vector que te dan es el vector director.

JulianD osea que si pongo que es S= {(x;y;z) € R^3 / x=4z}
estaría bien no?
Esa sería la ecuación?

La unica que cumple con esas condiciones es la recta generada, y que por las propiedades de los subespacios tiene que pasar por el cero.

Asi que CREO, que esta bien..

La verdad me acuerdo muy poco de algebra, me tengo que poner a repasar.

JulianD
emmm esta mal xD
Me comí un Menos xD
S= {(x;y;z) € R^3 / x=-4z}

Listo ya lo entendí ahora puedo seguir xD me habia quedado re tildado!

Gracias Man

Por que un menos?

En realidad ahora que lo pienso, esta mal la relacion entre las componentes:

Si "gen {(2;0;8)}" entonces S= {(x;y;z) € R^3 / z=4x}

Y pero como demuestro! eso estoy re limado!

Jaja. La verdad no tengo idea..
Pero se me ocurre:

(x,y,z)= a (2,0,8) // Cualquier combinacion lineal del vector va a pertenecer al subespacio.

x=2a
z=8a

==> a=x/2=z/8

Y de ahi sale que 4x=z

Igual espero que venga alguien rapido a salvar este embrollo Jajja

Bely ella sabe.

Paso el problema completo mepa que es mas facil que lo creo

Dado el subespacio Vectorial S= gen {(gen (2;0;k)} W= gen {gen (2;1;3) ; (1;0;4)}
determinar valores de k para que S+W sea suma directa! Justificar.
Para dichos valores de K calcular S(+)W indicar una base y la dimensión :/

Me dio K = 8 es así?

(18-02-2013 23:01)carlosmma escribió:  Paso el problema completo mepa que es mas facil que lo creo

Dado el subespacio Vectorial S= gen {(gen (2;0;k)} W= gen {gen (2;1;3) ; (1;0;4)}
determinar valores de k para que S+W sea suma directa! Justificar.
Para dichos valores de K calcular S(+)W indicar una base y la dimensión :/

Me dio K = 8 es así?

Espero ayudarte y que mi respuesta esté bien, lo hice a las apuradas.

Fijate esta propiedad: Dim (S+W) = Dim S + Dim W + Dim (S \[\cap \] W)

Para que sea suma directa, Dim (S \[\cap \] W)=0

Sabemos que la Dim S = 1 y la Dim W = 2

Por lo tanto tenes que hacer Gauss con la matriz resultante de los generadores de S y W

Resolviendo llegué a esto

\[\begin{pmatrix}0 & 0 & k-8\\ 0 & 1 & -5\\ 1 & 0 & 4\end{pmatrix}\]

La base de esta matriz te determina Dim(S+W) la cual tendría que ser 3 para que sea suma directa, por lo tanto

K tendría que ser distinto de 8 para que el rango sea 3 y la suma sea directa

Pero si el resultado de K son todos los reales menos el 8, no sé como se calcularía la suma de S y W.

El resultado tiene que ser 8 entonces, pero no te puedo justificar por qué :/

Ay qué orgullo, fer me etiquetó (? jajajaj

Es así, si tenés S= gen {(2;0;k)} y W= gen { (2;1;3) ; (1;0;4)}

S + W = gen { (2,0,k) (2,1,3) (1,0,4) } Es decir, es el generado por la unión de los generadores de los dos subespacios. (esto SIEMPRE es así) Para que la suma sea directa esos generadores deben ser también bases, es decir deben ser L.I. (palabras textuales de Vardanega).

así que haciendo Gauss, como hicieron arriba.. llego a que k tiene que ser distinto de 8. (si quieren lo hago paso por paso) Justamente porque si k=8 una fila se me anula y la matriz me queda de rango 2, o si lo quieren ver de otra manera, si k=8, ya no tengo más pivotes para tomar y sólo me quedaron 2 canónicos armados.

Lo que queda es re fácil si uno tiene la teoría clara. Me piden que para esos valores calcule la dimensión de la suma y una base... Si k es distinto de 8, la suma es directa (por todo lo que dije arriba), entonces la suma es todo R3 y una base es {(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)}

esto es por este teorema dim (S (+) W) = dim S + dim W ... como con esos valores de k, los tres generadores son LI, sería dim S= 1 dim W=2 2+1= 3 si la dim de la suma directa es 3, es porque se genera todo R3 y la base más simple es la formada por los 3 vectores canónicos.

carlosmma te etiqueto así lo ves espero que les haya sido útil y lo entiendan sino díganme cualquier cosa ah y espero que este bien ajajaj si me confundí en algo chifleeeenn!

Feer , Bely y fedee90 gracias por la ayuda...

Lo volví a hacer ayer de mañana y me di cuenta que daba todos los numeros menos el 8.
Igual gracias a ustedes me quedo mucho mas claro

Son re grosos

yo no ayude XD