Hola, antes que nada me presento. Soy Sebastián y estoy estudiando Ing. Química en la UTN FRBA. Entré este año y estoy cursando AM II (con Gallego y Candeias). Por suerte di bien el final de AM I por lo que tengo la posibilidad de promocionar ésta, y quiero tratar de aprovechar la oportunidad, asi que les quiero hacer un par de consultas del T.P. 6 que no me terminan de cerrar.
Son dudas particulares de algunos ejercicios. Si pueden tomarse un tiempo y si la tienen clara, les agradecería que me puedan ayudar aunque sea con alguno.

12) C es la curva intersección de las superficies de ecuación \[x^{2} - y^{2} = 12\], \[z = x + y^{2}\]: analice si la recta tangente a C en (4,2,\[Z_{0}\]) corta al cilindro de ecuación \[\displaystyle y =\]\[x^{2}\].

El 12 no estoy seguro si lo hice bien. Lo que hice fue calcular cada vector normal de las 2 superficies que dan, hacer el producto vectorial de los 2 vectores normales y con eso obtuve el vector tangente (esa es una de las dudas; si lo que obtuve es el vector tangente) Después lo que sigue es reemplazar la "x" y la "y" de la recta tangente en el cilindro para ver si corta o no (me da que no corta porque el discriminante da menor que 0).

14) Halle la ecuación cartesiana del plano normal a la curva C en \[\bar{A}\] = (2,1,-4) si se sabe que los puntos de C pertenecen a la superficie de ecuación \[\displaystyle z = xy - 3x\], y que la proyección de C sobre el plano \[\displaystyle xy\] es la parábola definida por \[\displaystyle y = x^{2} - 3\] con \[z = 0\].

En el 14 mi problema está en cómo obtener la curva C. Da la proyección de C sobre el plano "xy" y dice que los puntos de C pertenecen a una superficie (y da la ecuación de esa superficie). Después pide la ecuación cartesiana del plano normal en un punto, que con eso no hay problema. Mi problema ahí está en obtener la curva C.

15) Considere \[h = f o \bar{g} \] con \[\bar{g}(x) = (e^{x} , e^{x^{2}})\], \[f (u,v)\] definida por \[y - 1 + \ln (yuv) = 0\]. Demuestre que \[y = h(x)\] con \[h(0)=1\] satisface la ecuación \[(1 + y){y}' + (1 + 2x)y=0.\]

El 15 no supe como plantearlo. Calculé el gradiente de f y el vector derivado de g (todo en variables, sin reemplazo en puntos) y no me cerraba.

18) Sea \[f \in C^{1}\] con \[\triangledown f = (1,-1) \] constante, halle \[g\] derivable tal que \[h(x) = f(x g(x),g(x))\] sea constante; suponga que la gráfica de \[g\] pasa por (3,1).

Y por último el 18, que tiene pinta de ser una ecuación diferencial, pero no supe como plantearlo bien.

Desde ya cualquier ayuda será agradecida, espero no haberlos molestado.
Saludos, Sebastián.

te puedo ayudar siendo las 3:26 de la mañana con el 15... que me parece que tengo una solución "potable"

Vos dijiste que obtuviste h'x e h'y ya que es una composición de f con g no vas a tener problemas...
Lo que podes hacer es armar h(x) ¿Por qué? fijate:

h'x = (lo que tenes) si integras ambos lados te queda:

h(x,y) = algo + constante donde tu constante es: fi(y)
Deriva todo en función de "y" y te va a quedar:

h'y = algo + fi'(y)
entonces en h'y reemplazas lo que ya encontraste de la composición y volves a integrar para obtener: h(x,y) = algo + c haciendo los reemplazos como te va llevando el ejercicio...

Despues tenes tu h(x,y) lo pones todo en función de una variable, con este método tenes que llegar bien, no conozco tus valores de h y ahora no puedo hacertelo... entonces vas a tener h(x) = p(x) + c, ahí reemplazas el punto que te dan... y ya tenes que h(x)=y
Eso lo metes en la ecuación diferencial y te fijas si satisface la solución particular...

Si no te llega a salir con esta forma me fijo de hacerlo yo... trate de ser lo mas entendible posible jaja.

Exitos!

(06-10-2012 02:50)Seba_SL escribió:  12) C es la curva intersección de las superficies de ecuación \[x^{2} - y^{2} = 12\], \[z = x + y^{2}\]: analice si la recta tangente a C en (4,2,\[Z_{0}\]) corta al cilindro de ecuación \[\displaystyle y =\]\[x^{2}\].

El 12 no estoy seguro si lo hice bien. Lo que hice fue calcular cada vector normal de las 2 superficies que dan, hacer el producto vectorial de los 2 vectores normales y con eso obtuve el vector tangente (esa es una de las dudas; si lo que obtuve es el vector tangente)

Cita:Después lo que sigue es reemplazar la "x" y la "y" de la recta tangente en el cilindro para ver si corta o no (me da que no corta porque el discriminante da menor que 0).

Cita:
14) Halle la ecuación cartesiana del plano normal a la curva C en \[\bar{A}\] = (2,1,-4) si se sabe que los puntos de C pertenecen a la superficie de ecuación \[\displaystyle z = xy - 3x\], y que la proyección de C sobre el plano \[\displaystyle xy\] es la parábola definida por \[\displaystyle y = x^{2} - 3\] con \[z = 0\].

En el 14 mi problema está en cómo obtener la curva C. Da la proyección de C sobre el plano "xy" y dice que los puntos de C pertenecen a una superficie (y da la ecuación de esa superficie). Después pide la ecuación cartesiana del plano normal en un punto, que con eso no hay problema. Mi problema ahí está en obtener la curva C.

Los puntos de la curva son de la forma \[P=(x,y,xy+3x)\] pero ademas tenés el dato de la proyeccion de esa curva es \[y=x^2-3\] para armar la curva solo reemplaza la proyeccion en los puntos de la misma, escrita de forma vectorial la curva es

\[C:R\to R^3/C(x)=(x,x^2-3,x^3-6x)\]

de ahi me parece que podes continuar

Cita:
15) Considere \[h = f o \bar{g} \] con \[\bar{g}(x) = (e^{x} , e^{x^{2}})\], \[f (u,v)\] definida por \[y - 1 + \ln (yuv) = 0\]. Demuestre que \[y = h(x)\] con \[h(0)=1\] satisface la ecuación \[(1 + y){y}' + (1 + 2x)y=0.\]

El 15 no supe como plantearlo. Calculé el gradiente de f y el vector derivado de g (todo en variables, sin reemplazo en puntos) y no me cerraba.

Lo que pasa es que h es una composicion de funciones tenes que encontrar \[f(u,v)\] de esa implícita que te dan, o sea despejar esa "y" que tenes ahi, por cauchy-dini , después

simplemente hacer la composición, finalmente reemplazar en la ecuacion diferencial, intentalo si no te sale, lo vemos

Cita:
18) Sea \[f \in C^{1}\] con \[\triangledown f = (1,-1) \] constante, halle \[g\] derivable tal que \[h(x) = f(x g(x),g(x))\] sea constante; suponga que la gráfica de \[g\] pasa por (3,1).

Y por último el 18, que tiene pinta de ser una ecuación diferencial, pero no supe como plantearlo bien.

Exacto es una ED la que tenes que resolver primero que viene acompañada de una composicion de funciones, defino

\[w(x)=(xg(x),g(x))\]

entonces

\[h(x)=f(w(x))\]

por regla de la cadena, observa que h depende solo de una variable

\[h'(x)=\nabla f(u,v)\cdot \nabla(w(x))=(1,-1)\cdot \begin{pmatrix}g(x)+xg'(x)\\\\g'(x)\end{pmatrix}\]

ahora pensa, para que una funcion sea constante, ¿su derivada cuanto debe valer?, si sabes la respuesta haciendo las cuentas, tenemos

\[g(x)+xg'(x)-g'(x)=0\]

ecuacion diferencial a resolver

cualquier duda q tengas pregunta que por acá intentaremos colaborar

Cita:Desde ya cualquier ayuda será agradecida, espero no haberlos molestado.

No es ninguna molestia en absoluto, solo que te pediria por favor, que por cada ejercicio que subas al foro, lo hagas en threahs separados, no los juntes a todos, porque si hay que seguir

focalizando en alguno en particular, un solo th se hace largo e incluso confuso, ademas asi podemos mantener organizados los ejercicios,

Muchísimas gracias a los 2. Pude hacer todos menos el 15, que la verdad se me complicó al tener que hacer todo sobre variables y sin números.

¿ya actualizaron el índice?
http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-ana...de-la-guia

Hola alguno me podria explicar por pasos como se resuelve el 12 porque no entindo como resolverlo. Muchas gracias

Tenes la curva dada como intersección de dos superficies

1) Encontra el valor de \[z_0\] reemplazando el punto \[A=(4,2,z_0)\] en las superficies que generan la curva

2) podes parametrizar o hacer el producto vectorial entre los vectores gradiente de dichas superficies para obtener el vector (v) director de la recta tangente a dicha curva, tenes el punto A podes

armar la ecuacion de la recta tangente \[r: A+\lambda v\]

3) expresa esa recta en su forma paramétrica

4) reemplaza esas ecuaciones parametricas en la cartesiana del paraboloide \[y=x^2\] para encontrar, si es posible, el valor del parametro con el cuál obtenes los puntos de intersección

(28-10-2012 18:06)Saga escribió:  Tenes la curva dada como intersección de dos superficies

1) Encontra el valor de \[z_0\] reemplazando el punto \[A=(4,2,z_0)\] en las superficies que generan la curva

2) podes parametrizar o hacer el producto vectorial entre los vectores gradiente de dichas superficies para obtener el vector (v) director de la recta tangente a dicha curva, tenes el punto A podes

armar la ecuacion de la recta tangente \[r: A+\lambda v\]

3) expresa esa recta en su forma paramétrica

4) reemplaza esas ecuaciones parametricas en la cartesiana del paraboloide \[y=x^2\] para encontrar, si es posible, el valor del parametro con el cuál obtenes los puntos de intersección

Hola gracias por responder, tengo una duda el punto me queda (4,2,8)
Puede ser que ser vector me quede (4,-8,36)? me parece que estoy haciendo algo mal
Yo saque los dos gradientes y los evalué en el punto y después hice el producto vectorial y me dio eso

(28-10-2012 18:16)juanizb escribió:  Hola gracias por responder, tengo una duda el punto me queda (4,2,8)
Puede ser que ser vector me quede (4,-8,36)? me parece que estoy haciendo algo mal
Yo saque los dos gradientes y los evalué en el punto y después hice el producto vectorial y me dio eso

Es correcto el procedimiento, el punto esta bien, ahora no se si me equivoque yo en las cuentas o vos , el vector (v) me da \[(-4,-8,16)\] o equivalentemente \[(1,2,-4)\]

(28-10-2012 18:39)Saga escribió:  

(28-10-2012 18:16)juanizb escribió:  Hola gracias por responder, tengo una duda el punto me queda (4,2,8)
Puede ser que ser vector me quede (4,-8,36)? me parece que estoy haciendo algo mal
Yo saque los dos gradientes y los evalué en el punto y después hice el producto vectorial y me dio eso

Es correcto el procedimiento, el punto esta bien, ahora no se si me equivoque yo en las cuentas o vos , el vector (v) me da \[(-4,-8,16)\] o equivalentemente \[(1,2,-4)\]

el gradiente de la primera no queda (2x,-2y,0) y el de la segunda (1,2y,-1)?

(28-10-2012 18:49)juanizb escribió:  el gradiente de la primera no queda (2x,-2y,0) y el de la segunda (1,2y,-1)?

me equivoque yo y vos en un signo \[v=(4,8,36)\], ahora porque decis que algo debe estar mal en tu planteo?

Tema dividido, encontra tu respuesta por este th http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-ejercicio-17-tp-6

(06-10-2012 03:51)Saga escribió:  \[g(x)+xg'(x)-g'(x)=0\]

ecuacion diferencial a resolver

Disculpen la molestia, pero alguien me puede explicar como hacer la ecuación diferencial del 18 porque no me da lo mismo que en la guía.
Muchas gracias

No es necesario que cites todo el mensaje, con citar la parte que necesitas alcanza, lo edite para focalizar mas la duda que tenes.

Respecto a tu pregunta, que intentaste

Lo hice por variables separables no se si esta bien y me da que g(x)=x-1