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Quisiera saber por donde empezar o en que guiarme. Desde ya muchas gracias.

Por ahora saque el vector director PQ = (-1, -7/2, 2)
Pero estaría necesitando el vector normal no se como sacarlo y después tendría que hacer supongo que el vector normal del plano sea perpendicular al director de la recta. Y de ahí plantear la ecuación de dos vectores perpendiculares

Tarde, pero calculo que puede servir igual.

Hallar la ecuación de un plano que contiene a un punto y una recta es medio "mecánico".

Restás ese punto con un punto de la recta (lo llamamos PQ) y entonces PQ x director = normal del plano. Después reemplazás cualquier punto en la ecuación del plano para obtener D y listo.

Vamos con este.

Como bien calculaste, el director es \[\overline{PQ}=(-1; -\frac{7}{2}; 2)\]

Ahora, te dice que corta al eje z en 3, eso significa que el punto (0;0;3) es parte del plano.

Entonces, como dije al principio, restamos este punto a cualquiera de la recta (por ejemplo P) y nos queda el punto (1;3;-5). Ahora hacemos producto vectorial \[(1;3;-5) \times (-1; -\frac{7}{2}; 2) = (-\frac{22}{2}; 3; -\frac{1}{2})\]

\[\pi: -\frac{22}{2} x + 3y + -\frac{1}{2} z + D = 0\]

Reemplazo cualquier punto (Q por ejemplo)

\[D=\frac{3}{2}\]

\[\pi: -\frac{22}{2} x + 3y + -\frac{1}{2} z + \frac{3}{2} = 0\]

Listo!

Las intersecciones con los otros ejes es fácil. Con el eje x, te quedaría el punto (3/22;0;0). Con el eje y, te quedaría (0;-1/2;0). La intersección con el eje z era dato, pero no viene mal corroborar que efectivamente es el punto (0;0;3).

Saludos y espero que haya servido.