Hola. Tengo una consulta.

Situación: estoy buscando el núcleo de una T.L. (o sea, el vector del dominio cuya imagen es el vector nulo) y me queda un sistema de ecuaciones que es compatible INDETERMINADO

Pregunta: ¿¿¿la DIMENSIÓN del núcleo será sí o sí distinta de cero debido a que el sistema es compatible INDETERMINADO???

Si la rta es sí, quisiera saber por qué. Es algo que me parece deducir de algunos ejercicios. Mil gracias.

Sí, la dimensión del núcleo es mayor a 0 si te quede un sistema compatible indeterminado porque no encontraste un sólo vector sino un subespacio. Si tenés un \[ \vec{\textbf{v}} \ne \vec{\textbf{0}} \] tal que \[ T(\vec{\textbf{v}})=\vec{\textbf{0}} \], todos los vectores del subespacio generado por ese vector \[ \mathbb{S}=\mbox{gen} \{ {\vec{\textbf{v}} \}=k \cdot \vec{\textbf{v}}} \] forman parte del núcleo también porque por propiedad de las transformaciones lineales \[ T(k \cdot \vec{\textbf{v}})=k \cdot T(\vec{\textbf{v}})=k \cdot \vec{\textbf{0}}=\vec{\textbf{0}} \].
La dimensión del núcleo va a depender de la cantidad de variables libres que te quedaron en el sistema de ecuaciones y te va a definir también la dimensión de la imagen (por el teorema de la dimensión).

Asi es, hay una propiedad que esta relacionada a lo del rango de una matriz y el numero de incognitas, no la recuerdo bien pero creo que el de arriba te lo explico. Si cuando haces la CL y te queda un SCI si o si el nucleo es distinto del nulo.
Si aun tenes dudas, con el teorema de las dimensiones, DIM V = DIM Nu(t) + DIM Img(t) podes corroborarlo.