Hola gente, como andan?

Bueno queria solicitar su ayuda con 2 ejercicios basicos de vectores de algebra encontrados en la 1ra guia de ejercicios.

Los ejercicios dicen asi:

1) Dados los vectores \[a: i + 3j - 2k \] y \[b: 4i - 6j + 5k\] descomponga el vector b en la suma de 2 vectores: Uno en la misma direccion que a y otro en una direccion ortogonal a a.

Lo que yo hice fue lo siguiente:

Primero que nada calcule los vectores a y b:

\[a: (1,3,-2)\] y \[b: (4,-6,5)\]

Luego empece a plantear la ecuación principal, \[b: x + y\] (donde x e y son los 2 vectores descompuestos). Luego determine que (como el orden de los factores no altera la suma) x era el vector con misma dirección que a e y el vector con dirección ortogonal a a.

Ahora, para x: Si se sabe que tiene la misma dirección, entonces se sabe que el versor de X es igual al versor de a (obviamente con distinto modulo).

\[x: \frac{a}{||a||}\]

\[x: \frac{(1,3,-2)}{\sqrt{14}}\]

\[x: (\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{-2}{\sqrt{14}})\]

Pero como dije antes no tiene el mismo modulo, por lo cual:

\[x: (\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{-2}{\sqrt{14}})*F\]

Donde F es un numero escalar (y es incognita).

Luego prosegui a analizar el vector y: Si se que el vector y es ortogonal a a, entonces:

\[a * y = 0\]

Llamemos a y: \[y: (A,B,C)\]. Reemplazamos arriba y nos queda:

\[(1,3,-2) * (A,B,C): 0\]

Pero a decir verdad con eso no llego a nada porque tendría una ecuación con 3 incógnitas. Entonces supongo que esta mal hecho.

Ese es el primer problema.

2) Calcule \[\left \| a \right \|\] sabiendo ang(a,b):\[\frac{3}{4}\prod \], \[\left \| b \right \|: \sqrt{2}\] y que \[4a + 2b \perp a\].

Lo primero que hice fue la ecuación quie dice:

\[a*b: \left \| a \right \|*\left \| b \right \|*cos\alpha \]

\[a*b: \left \| a \right \|*\sqrt{2}*-\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[-(a*b):\left \| a \right \|\]

Y ahi me estanque porque no se como deducir a*b utilizando el ultimo dato del ejercicion.

Alguien me ayuda?

Desde ya muchas gracias.

Saludos

Usa las definiciones, para empezar tenes un vector \[v=(r,m,n)\] perpendicular al vector "a" entonces se cumple que

\[v\perp a \to (r,m,n)(1,3,-2)=0\quad (1)\]

despues tenes que v tiene la misma direccion que a o sea es proporcional

\[v=\alpha v\rightarrow (r,m,n)=\alpha(1,3,-2) \quad (2)\]

de (1) obtenes \[r=2n-3m\to v=(2n-3m,m,n)\]

de (2) \[v=(r,m,n)=(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sabes que b es la suma de (1) y (2) entonces \[(4,6,5)=(2n-3m,m,n)+(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sistema de 3 ecuaciones y tres incognitas a resolver.

El otro si no te contestan cuando vuelva de la pile lo veo

(29-03-2012 15:00)Saga escribió:  Usa las definiciones, para empezar tenes un vector \[v=(r,m,n)\] perpendicular al vector "a" entonces se cumple que

\[v\perp a \to (r,m,n)(1,3,-2)=0\quad (1)\]

despues tenes que v tiene la misma direccion que a o sea es proporcional

\[v=\alpha v\rightarrow (r,m,n)=\alpha(1,3,-2) \quad (2)\]

de (1) obtenes \[r=2n-3m\to v=(2n-3m,m,n)\]

de (2) \[v=(r,m,n)=(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sabes que b es la suma de (1) y (2) entonces \[(4,6,5)=(2n-3m,m,n)+(\alpha,3\alpha,-2\alpha)\]

sistema de 3 ecuaciones y tres incognitas a resolver.

El otro si no te contestan cuando vuelva de la pile lo veo

No sabes cuanto te agradezco Saga. Entonces, para finiquitar con el 1er ejercicio las 3 ecuaciones serian:

\[(r,m,n)*(1,3,-2)=0\]
\[(r,m,n)=(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )\]
\[(2n-3m,m,n)+(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )=(4,6,5)\]

Realmente no creo que sean esas puesto que \[\alpha\] y \[r\] no estan en las 3 ecuaciones. ¿Que decis?

Creo que no me explique bien, no me molesta si me decis que alguna explicacion que te di no te convence, a ver (1) y (2) son las definiciones que nos llevan

\[(2n-3m,m,n)+(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )=(4,6,5)\]

si efectuamos la suma de vectores, que como sabras los vectores se suman componente a componente, tenemos

\[\\4=2n-3m+\alpha\\ 6=m+3\alpha\\5=n-2\alpha\]

sistema del que te hablaba

---

para el segundo te falto considerar la condicion

\[4a+2b\perp a\Rightarrow (4a+2b)a=0\]

a no puede ser 0 sino no existe angulo, entonces consideramos

\[4a+2b=0\Rightarrow {\color{Red} b=-2a}\]

la formula es

\[(a.b)=||a||\cdot||b||\cdot cos\theta\],

solo queda sustituir el valor de b en el producto escalar, y operar como lo venias haciendo.

Recorda que \[\vec a\cdot \vec a=||\vec a||^2\]

cualquier duda chifla

editado

(29-03-2012 19:03)Saga escribió:  Creo que no me explique bien, no me molesta si me decis que alguna explicacion que te di no te convence, a ver (1) y (2) son las definiciones que nos llevan

\[(2n-3m,m,n)+(\alpha ,3\alpha ,-2\alpha )=(4,-6,5)\]

si efectuamos la suma de vectores, que como sabras los vectores se suman componente a componente, tenemos

\[\\4=2n-3m+\alpha\\ -6=m+3\alpha\\5=n-2\alpha\]

sistema del que te hablaba

---

para el segundo te falto considerar la condicion

\[4a+2b\perp a\Rightarrow (4a+2b)a=0\]

a no puede ser 0 sino no existe angulo, entonces consideramos

\[4a+2b=0\Rightarrow b=-\frac{a}{2}\]

la formula es

\[(a.b)=||a||\cdot||b||\cdot cos\theta\],

solo queda sustituir el valor de b en el producto escalar, y operar como lo venias haciendo.

Recorda que \[\vec a\cdot \vec a=||\vec a||^2\]

cualquier duda chifla

Sos un genio Saga, muchisimas gracias ya entendi todo . Te explicaste bien, soy yo el duro jaja xD.

Saludos y nos veremos pronto (con Física 1!!! jaja).

No es nada, al contrario me gusto poder colaborarte, corrijo algo en mi mensaje cuando consideras, en el segundo ejercicio la condición de perpendicularidad \[b=-2a\] y nó como lo puse, error mental, ah!! gracias por responder si tus dudas fueron resueltas, éxitos en la carrera

Compañeros, no entendí una parte del ejercicio. No entiendo como armaron la ecuacion que luego igualaron y sumaron componente a componete. Un vector es proporcional y el otro es ortogonal, pero los dos no cumplen las dos propiedades (?)

(09-04-2012 11:02)bareel escribió:  No entiendo como armaron la ecuacion que luego igualaron y sumaron componente a componete.

(29-03-2012 14:18)Gonsha escribió:  Los ejercicios dicen asi:
1) Dados los vectores \[a: i + 3j - 2k \] y \[b: 4i - 6j + 5k\] descomponga el vector b en la suma de 2 vectores: Uno en la misma direccion que a y otro en una direccion ortogonal a a.

Ya lo entendi. Lo que pasa es que, sino me equivoco, pusiste que V es perpendicular (a.v = 0) y que el mismo v es proporcional por la misma dirección. En mi caso, le puse nombres diferentes y pense que eso iba a interferir en el resultado.

Muchas gracias.

Sí, bareel entiendo lo que me decis, perdón por el cuelgue y no contestar antes, es cierto que un vector no puede ser perpendicular y al mismo tiempo proporcional, si te fijas bien yo tome un vector genérico, pero el vector que impongo que sea perpendicular es

\[v=(2n-3m,m,n)\]

y un vector proporcional

\[k=(\alpha,2\alpha,-3\alpha)\]

fijate que \[v\neq k\] dependen de distintos parametros,

uno cumple la perpendicularidad y el otro la proporcionalidad, lo podes ver??

si fuese solo vector que cumple las dos cosas, seria algo del tipo

\[v=(r,m,n)\quad k=(\alpha r,\alpha m,\alpha n)\]

ahi si tenés toda la razón y estaria mal planteadas las condiciones del enunciado, hay muchas formas de encarar el ejercicio, a mi me parecio mas sencilla la que propongo, igual agradezco las observaciones o errores que podas/puedan encontrar en algun planteo que propongo