Hola, no me sale este ejercicio, es del final del 19-12-12


Sea E=(a,b,c), la base canónica de R3 y una TL. T de R3 en R3 / T(a)=3a+c , T(b)=4b y v=(-1,0,1) es un autovector de T asociado al autovalor 2. Determine si es posible diagonalizar una matriz M asociada a la transformacion lineal T.

Gracias!

Mmm pegunta...

\[a=(1,0,0) \wedge b=(0,1,0) \wedge c=(0,0,1)\] ?

De ser así es bastante fácil, si tenés alguna duda lo hago. Pero necesitaría confirmar si lo que dije anteriormente está bien.

Sisi, yo interpreté lo mismo.

En el primer y segundo caso no tengo problema.
Para el tercero debería decir que T(-1,0,1)=(-2,0,2) ??

A ver si sale...

Copio los datos:

\[T(1,0,0)=(3,0,1) \; ^{(1)}\]

\[T(0,1,0)=(0,4,0) \; ^{(2)}\]

\[\vec{v}=(-1,0,1)\] correspondiente al autovector \[\lambda=2\]

Supongamos a \[A\] como la matriz asociada de \[T\]

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\]

Utilizando los dos transformados planteamos lo siguiente...

Primero analizo que pasa con \[^{(1)}\]:

\[(a_{11}.1+a_{12}.0+a_{13}.0\; ,\; a_{21}.1+a_{22}.0+a_{23}.0\; ,\; a_{31}.1+a_{32}.0+a_{33}.0)=(3,0,1)\]

\[(a_{11} \; , \; a_{21} \; , \; a_{31})=(3,0,1)\]

\[a_{11}=3 \wedge a_{21}=0 \wedge a_{31}=1\]

Ahora analizo que pasa con \[^{(2)}\]:

\[(a_{11}.0+a_{12}.1+a_{13}.0\; ,\; a_{21}.0+a_{22}.1+a_{23}.0\; ,\; a_{31}.0+a_{32}.1+a_{33}.0)=(0,4,0)\]

\[(a_{12} \; , \; a_{22} \; , \; a_{32})=(0,4,0)\]

\[a_{12}=0 \wedge a_{22}=4 \wedge a_{32}=0\]

Por ende, podemos escribir la matriz como:

\[A=\begin{pmatrix}3&0&a_{13}\\a_{21}&4&a_{23}\\1&0&a_{33}\end{pmatrix}\]

Finalmente, ya teniendo unos cuantos valores de la matriz, aplicamos conocimientos de autovalor/autovector:

Para \[\lambda=2\]

\[A=\begin{pmatrix}1&0&a_{13}\\a_{21}&2&a_{23}\\1&0&a_{33}-2\end{pmatrix}\]

Conociendo el autovector \[\vec{v}=(-1,0,1)\] podemos plantear lo siguiente:

De \[(-1,0,1)\] puedo afirmar lo siguiente: \[x=-z\]... De acuerdo a la matriz \[A\]:

\[a_{13}=-1 \wedge a_{21}=-a_{23} \wedge a_{33}-2=-1 \to a_{33}=1\]

A partir de lo dicho anteriormente transcribo la matriz con los valores ya obtenidos:

\[A=\begin{pmatrix}3&0&-1\\-a_{23}&4&a_{23}\\1&0&1\end{pmatrix}\]

Ahora sólo queda comprobar si es diagonalizable o no. No lo quiero hacer por 3 razones:

1-Me cansé.
2-Te dejo un poco de tarea.
3-No sé si lo que hice hasta ahora está bien, puesto que no tengo resultados.
4-Y acá va un razonamiento (que no sé si hace al desarrollo más rápido, es decir evitar las cuentas): fijate que \[a_{12}=a_{32}=0 \wedge a_{21}=-a_{23} \wedge a_{13}=-a_{31}\]... hay algún concepto que me permita obviar las cuentas para decir si \[A\] es o no diagonalizable? (si lo hay no lo recuerdo).

Es solo usar la definicion \[T(v)=\lambda v\] y los datos del enunciado.

\[\\T(1,0,0)=3(1,0,0)+(0,0,1)\\\\T(0,1,0)=4(0,1,0)\\\\T(-1,0,1)=2(-1,0,1)\]

haciendo las cuentas

\[\\T(1,0,0)=(3,0,1)\\\\T(0,1,0)=(0,4,0)\\\\T(-1,0,1)=(-2,0,2)\]

Defino la matriz asociada a T

\[M(T){\color{Red} _{E'}}=\begin{pmatrix}{3}&{0}&{-2}\\{0}&{4}&{0}\\{1}&{0}&{2}\end{pmatrix}\]

Edito: esta matriz no es la que hay que diagonalizar ya que esta en base E', tenemos que hallar la matriz en base E, tuve un error conceptual que corregí mas

adelante

JAJAJA tenés razón, hice tremendo planteo al pedo...

Independientemente de eso, me acabo de dar cuenta que podría haber dicho que \[a_{23}=0\] sin ningón problema, ya que de no ser así no se cumpliría el vector \[\vec{v}\]. Pero... en qué me equivoqué que justo la columne de \[z\] me da la mitad que a vos? O puede ser que de la mitad?

Muchas gracias a los dos!
Que bueno, se hacía como yo pensaba...solo que no tenía resultados ni resolución como para chequearlo.

Viendo el ejercicio, la matriz que halle no es la correcta, tenemos dos bases \[E=(a,b,c)\] y una base \[E'=(a,b,w)\quad w=(-1,0,1)\] la matriz que yo encontre esta en base \[E'\]

y nos piden la matriz en base E, como tenemos las imagenes de esos vectores en E'

\[\\T(1,0,0)=(3,0,1)\\\\T(0,1,0)=(0,4,0)\\\\\ T(-1,0,1)=(-2,0,2)\]

puedo calcular \[c\] como

\[(0,0,1)=\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\lambda(-1,0,1)\] si existen los escalares correspondientes puedo hacer

\[T(0,0,1)=\alpha T(1,0,0)+\beta T(0,1,0)+\lambda T(-1,0,1)\]

de donde la matriz asociada a la transformacion en base E es

\[M(T)_{E'E}=\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&0\\1&0&3\end{pmatrix}\]

ahora sí, ademas es claro ver que la matriz es diagonalizable, y esta en base canónica: Lu disculpas por el error