Buenas, queria saber si me podian dar una mano con este ejercicio por favor.

a) Demostrar que \[W= \left \{ p(x) \epsilon P_{2}(x)/p(x)= ax^{2}+bx+c\wedge 3b-c=0 \right \}\] es un SEV de \[(P_{2};+;\mathbb{R};.)\]

b) Proporcionar una base B de W y su dim.
c) Obtener las coordenadas de \[p(x)=-2x^{2}+2x+6\] en la base B

Muchas gracias!

El a) no creo que te resulte dificil .... solo es aplicar las definiciones correspondientes

b) vos sabes que W tiene la condicion c=3b por ende

\[p(x)=ax^2+bx+3b=ax^2+b(x+3)\]

una base de W es

\[B=\left \{ x^2,x+3 \right \}\quad dim=2\]

c) solo tenes que hacer la combinacion lineal

\[-2x^2+2x+6=\alpha(x^2)+\beta (x+3)=\alpha (x^2)+\beta x+3\beta\]

de donde deducis que

\[\alpha=-2\quad \beta=2\]

Ante todo gracias por la respuesta y disculpa que te vuelva a molestar, pero no puedo entender la primer parte tampoco. Yo se que para probar que es un SEV tengo que probar las siguientes cosas:

a) \[p(x)\epsilon P_{2}(x)\]

b) El elemento nulo tiene que pertenecer a p(x).

c) LCI

c) LCE

Bueno, el primero se que es cierto por definicion pero a partir del 2do estoy trabado. No se como demostrar que el 0 pertenece a p(x) ni como mostrar que se cumplen las LCI y LCE.

Me podras ayudar?

Muchas gracias nuevamente.

No molestas, lo otro te quedo claro ??

a) p(x) esta en P2, por la misma definicion

b) vos sabes que

\[ 0x^2+0x+0\in P_2\leftrightarrow a=b=c=0\] luego es sencillo observar que \[W\neq \emp\phi\]

c) LCI

\[\forall h(x)\in W\quad \forall q(x)\in W\quad h(x)+q(x)\in W\]

defino

\[\\h(x)=kx^2+m(x+3)\in W \quad q(x)=a'x^2+b'(x+3)\in W\]

los sumo

\[h(x)+q(x)=\underbrace{(k+a')}_A x^2+\underbrace{(m+b')}_B(x+3)=Ax^2+B(x+3)\in W\]

d) LCE

\[\forall k\in R\wedge \forall p(x)\in W \quad kp(x)\in W\]

luego

\[kp(x)=k(ax^2+b(x+3))=\underbrace{ka}_Ax^2+\underbrace{kb}_B(x+3)=Ax^2+B(x+3)\in W\]

por lo tanto W es subespacio de \[(\mathbb{P}_2,+,\mathbb{R},\cdot)\]

Muchas gracias! Ya entendí el ejercicio!