Resolví casi todo el parcial pero este fue un ejercicio que se me complicó y quería ver si lo tenia bien, si alguno se anima resolverlo o me puede ayudar se lo agradezco...

Decía así

Calcular:

1) continuidad en (0,0)
2) derivada direccional en (0,0)
3) analizar si es diferenciable en (0,0)


de esta función

\[f\left ( x, y\right ) = \left\{\begin{matrix}\frac{y^{5}}{x+y} & si\; \; x + y = 0 \\ 0 & si\; \; x + y \neq 0\end{matrix}\right.\]

A mi me dio que es continua y que es derivable para todas las direcciones y su derivada es 0 en ambos casos, o sea, el gradiente de la funcion me da (0,0) pero no se como justificar la diferenciabilidad.... puede que este haciendo algo mal y no sea continua o no sea derivable para todas las direcciones y así si podria justificar que no es diferenciable pero no veo donde esta el error...

Desde ya muchas gracias, copense que es corto

(30-05-2014 12:53)Nacho14 escribió:  pero no se como justificar la diferenciabilidad.... puede que este haciendo algo mal y no sea continua o no sea derivable para todas las direcciones y así si podria justificar que no es diferenciable pero no veo donde esta el error...

Desde ya muchas gracias, copense que es corto

basta probar que la funcion es clase 1, o sea probar que f derivada es continua , con eso ya tenes todo los demas items, continuidad derivabilidad etc etc probados, que una funcion sea c1 en am2 es como decir es dios jjeej o utilizar la definicion de diferenciabilidad, como mejor te guste

si decis que X= y'5 - y (en el 0,0 satisface x+y=0) te queda 1
Y si vas por el camino X=0, te queda que da 0.
Como es distinto no es continua.
Y como no es continua no es diferenciable.
Y si queres ahí le tiras la propiedad de que si F es diferenciable => F es continua.

Puede ser que haya bardeado cualquiera igual

Igual no es continua, por la curva x=y^5-y te da que el limite es 1 y por lo tanto no es continua => no es diferenciable. Es derivable siendo 0 para todas las direcciones, eso es cierto.

Gracias a todos, no se como no vi esa curva..
le pifie solo en la parte de continuidad y diferenciabilidad entonces, derivabilidad lo tengo bien !


Saludos

un detalle nomas, no estan al reves las condiciones del dominio para los pares (x,y)?, imagino que deben ser al reves las condiciones ya que de otro modo en la segunda rama el denominador siempre seria 0. o se puede calcular igualmente sin problemas?

Están al revés, pero la cosa era sacar la duda, es un error de tipeo eso.

Si error de tipeo... me confundi cuando lo pase con el latex