Buenas! Estoy haciendo la unidad 4 de la guia de analisis 2 y me tope con un ejercicio cuya respuesta no se corresponde con el resultado al que llegue.

"Analice por definición la existencia de las derivadas parciales de f en el punto A; cuando sea posible verifique aplicando la regla práctica de derivación."

\[f(x,y)=\sqrt{x^{4}+2y^{2}}\: \: \: ,\bar{A}=(0,0)\]

derivando con respecto al vector (1,0):

\[D1f(\bar{0})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left [ (0,0)+h(1,0) \right ]-f(\bar{0})}{h}=\]

\[=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h,0)-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{h^{4}+0}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}}{h}=0\]

despues lo hago con respecto al otro (0,1):

\[D2f(\bar{0})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left [ (0,0)+h(0,1) \right ]-f(\bar{0})}{h}=\]

\[=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0,h)-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{0+2h^{2}}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}\sqrt{h^{2}}}{h} =\]

\[= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}{h}}{h} = \sqrt{2}\]

La respuesta del ejercicio dice que f'x (0,0) = 0, lo cual tengo bien. Pero me dice que f'y (0,0) no existe y a mi me dio raiz de 2, si alguien puede decirme donde esta mi error se lo agradeceria mucho!

La hice hace una glaciación esta materia, pero lo único que se me ocurre es que en el primer caso me da la impresión que el numerador tiende con "mayor velocidad" a 0. En el segundo caso (no se como hacés para escribir de esa forma) te quedaría módulo de h sobre h.. y eso no me gusta un carajo por lo cual infiero que no existe (acá entra la teoría y no me pidas que me acuerde...).

Suerte con eso.

(24-04-2014 15:09)Feddyn escribió:  Buenas! Estoy haciendo la unidad 4 de la guia de analisis 2 y me tope con un ejercicio cuya respuesta no se corresponde con el resultado al que llegue.

"Analice por definición la existencia de las derivadas parciales de f en el punto A; cuando sea posible verifique aplicando la regla práctica de derivación."

\[f(x,y)=\sqrt{x^{4}+2y^{2}}\: \: \: ,\bar{A}=(0,0)\]

derivando con respecto al vector (1,0):

\[D1f(\bar{0})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left [ (0,0)+h(1,0) \right ]-f(\bar{0})}{h}=\]

\[=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h,0)-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{h^{4}+0}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}}{h}=0\]

despues lo hago con respecto al otro (0,1):

\[D2f(\bar{0})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left [ (0,0)+h(0,1) \right ]-f(\bar{0})}{h}=\]

\[=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0,h)-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{0+2h^{2}}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}\sqrt{h^{2}}}{h} =\]

\[= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}{h}}{h} = \sqrt{2}\]

La respuesta del ejercicio dice que f'x (0,0) = 0, lo cual tengo bien. Pero me dice que f'y (0,0) no existe y a mi me dio raiz de 2, si alguien puede decirme donde esta mi error se lo agradeceria mucho!

Buenas!
Venías muy bien hasta:

\[=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0,h)-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{0+2h^{2}}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}\sqrt{h^{2}}}{h} =\]

Recorda: \[\left | x \right |=\sqrt{x^{2}}\]

Por lo tanto el resultado a toda tu ecuación te va a quedar: (lo quise poner en latex y no me salio)
vas a tener que analizar para cuando h->0 por los positivos lo que te va a quedar \[+ \sqrt{2}\] y para cuando la h->0 por el lado de los negativos lo que te va a quedar: \[- \sqrt{2}\]
Entonces como te dan dos limites distintos, en ese punto el limite no existe!
Por ende en ese punto no existe la derivada parcial de y en A!


Saludos!

Uhhh tenes razón! Que gil! Muchas gracias

Veo que no estoy tan oxidado o por lo menos estoy en sintonía con Feer. Claro, inclusive no se hasta que punto podés hacer/escribir el primer punto de esa forma; corres el riesgo que te agarre un hdp en el final... porque sería una suerte de \[\sqrt{h^{2}h^{2}}\]... igual tiende a 0 entonces te pasás el hipótetico módulo por el ojete...

Pero consultá...

Hola,
Cualquier duda no dejes de consultar, me alegro que te hayamos podido ayudar!

polishdestiny en ese caso tendrias dos módulos, uno de los cuales sacarías y te quedarías con uno solo otorgando el mismo resultado (si es que entendí bien el comentario que hiciste)

En si el ejercicio esta perfecto solo falto el módulo!

Mucha suerte con la materia!

(24-04-2014 16:03)Feer escribió:  Hola,
Cualquier duda no dejes de consultar, me alegro que te hayamos podido ayudar!

polishdestiny en ese caso tendrias dos módulos, uno de los cuales sacarías y te quedarías con uno solo otorgando el mismo resultado (si es que entendí bien el comentario que hiciste)

En si el ejercicio esta perfecto solo falto el módulo!

Mucha suerte con la materia!

Es verdad, igual como dije en el primer post, el hecho de que el numerador tienda "a mayor velocidad" (a una mayor potencia) te da la pauta que tiende a 0. En fin, está bien ese punto.

Off topic, que bueno que está el editor de fórmulas...