necesito ayuda, estoy con un ejercicio de un parcial que dice sabiendo que f y g son infinitesimos equivalentes en x=xo entonces \[\lim x \to 0 \]\[\frac{f(x)+g(x)}{3f(x)-g(x)))} =1\]
Pense en decir que
\[f= \sin x \]
\[g=x\]
pero intente resolver el limite
\lim \[\frac{\sin x+x}{3\sin x-x}\]
\[ x \to 0\]
y no se, no me sale, por wolframalpha se que vale 1, pero necesito los pasos, intente multiplicando por el conjugado, con definiciones de trigonometria, y nada. Se ganan un chocolate si me ayudan jajaja!

y...sen x es infinitesimo equivalente con x cuando x tiende a cero entonces

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x+x}{3\sin x-x}=\lim_{x\to 0}\frac{ x+x}{3 x-x}=1\]

Creo que está duplicado este thread. Te pongo la misma respuesta que puse en el otro:

Sabés que

\[\frac{g(x)}{f(x)} \; \; \underset{x \to x_0}{\longrightarrow} \; \; 1\]

y por lo tanto
\[\frac{f(x)+g(x)}{3f(x)-g(x)} = \frac{f(x)}{f(x)} \cdot \frac{1+\frac{g(x)}{f(x)}}{3-\frac{g(x)}{f(x)}} = \frac{1+\frac{g(x)}{f(x)}}{3-\frac{g(x)}{f(x)}} \; \; \underset{x \to x_0}{\longrightarrow} \; \; \frac{1+1}{3-1} = 1\]