Hola gente, perdón que consulte sobre este tema, seguramente sea algo sencillo, pero no me queda en claro.

No entiendo bien la diferencia entre la Propiedad Reflexiva y la Antisimétrica. Se relacionan de alguna forma?

Lo que yo entiendo sería:

Reflexiva: xRx < Es decir, todos los elementos con bucles en el digrafo.

Antisimétrica. si xRy ^ yRx => x=y < Aca mi duda, no estamos hablando de lo mismo? osea x R x ya que x=y

Te lo pongo con un contraejemplo

Sea (x,y) e R / x es divisible por 2 ^ y es divisible por 3.

La propiedad Reflexiva se cumple cuando x = 6 por ejemplo

Sin embargo, yo puedo decir que x = 6 , y = 12 y tengo que

x R y ^ y R x pero sin embargo 6 es distinto de 12. Entonces me falla la Transitiva


En síntesis, la propiedad Reflexiva se cumple cuando un elemento se relaciona consigo mismo. Esto es cuando en el grafo tenes un bucle, y en la matriz de la relación tenes un k>=0 en la diagonal principal.

En cambio la propiedad Antisimétrica dice que si dos elementos se relacionan entre sí, a derecha y a izquierda, entonces esos elementos son iguales.


Creo que la propiedad antisimétrica lo que dice es que la "conmutatividad" de la relación, sólo se cumple con un mismo elemento. Es decir, si la relación es de orden, no puedo tener xRy e yRx siendo x != y

Reflexiva: para todo a que pertenece a la relación, a está en relación con a (aRa)

Ejemplo de reflexividad:

a=a, a<=a (para todo conjunto de los reales en general)

Ejemplo de no reflexividad (irreflexividad):

a<a (ningún elemento puede ser menor a sí mismo).

Antisimetría: para todo a,b que pertenece a la relación, SI a está en relación con b Y b esta en relación con a, entonces a=b

Ejemplo de antisimetría:

a=b y b=a (¿se te ocurre algún elemento en cualquier conjunto tal que sea distinto de sí mismo? eso es sólo el conjunto vacío, por lo tanto dos elementos pueden ser iguales sí y sólo si son el mismo elemento)
a|b y b|a (a divide b y b divide a, eso sólo es posible si a=b)

Ejemplo de no antisimetría:

a<=b y b<=a (Un ejemplo clásico: 2<=3 y 3<=2, ¿correcto?, no. La única posibilidad es que sean iguales)

Algunos ejemplos más raros:

1. Si definimos la relación R=||, es decir, paralelismo. Nuestro conjunto es de infinitas rectas.

reflexividad:

Para toda recta a de nuestra relación, a||a. Es verdadero, toda recta es paralela a sí misma.

Simetría:

Para todo par de rectas a,b de nuestra relación, a||b entonces b||a. Verdadero, Si una recta a es paralela b, entonces b es paralela a.

Antisimetría:

Para todo par de rectas a,b de nuestra relación, a||b y b||a entonces a=b. Falso. Vamos a tomar dos rectas cuales quieras de análisis matemático: y=2x+3, t=2x. Tienen la misma pendiente, por lo tanto son paralelas, pero la recta "y" no es igual a la recta "t"

Transitividad:

Te la dejo, pero es una extensión de la simetría.

2. Defino la relación R = "c" (inclusión). El conjunto, ponele los reales.

Reflexividad:

Para todo conjunto A que pertenece a c, AcA. Verdadero, todo conjunto está incluído en sí mismo. (los naturales en los naturales, los enteros en los enteros, los irracionales en los irracionales, etc)

Simetría:

Para todo par de conjuntos A,B que pertenecen a c, AcB entonces BcA. Falso, los naturales están incluidos en los enteros, pero los enteros no estan incluidos en los naturales.

Antisimetría:

Para todo par de conjuntos A,B que pertenecen a c, AcB y BcA entonces A=B. Verdadeeeero, el único modo de que un conjunto A esté dentro de un conjunto B y a la vez el conjunto B esté incluido en el conjunto A, es que A sea igual a B.

Transitividad:

Para toda terna de conjuntos A,B,C que pertenecen a c, AcB y BcC entonces AcB. Verdadero, es como ver una cajita A adentro de la cajita B, y la cajita B en la cajita C, por lo tanto A está dentro de C.


Espero te haya servido!

Muchas gracias gente,

valtimore Lo tuyo fue más acertado, igual entre las 2 respuestas pude sacar mis propias conclusiones y estoy mas encaminado.

Gracias a ambos!