El ejercicio (Verdadero o falso) dice que

f(x)= {x*ln(x^2) si x =/= 0
{0 si x = 0

es continua y derivable en x=0. Como se resuelve este tipo de ejercicios? Tengo que salvar la indeterminacion 0*infinito pero no se como, y no estoy seguro si puedo aplicar L'H porque yo no se si es derivable todavia. Si alguien me lo explica se lo agradecería.

muchas gracias

Para ver si es continua:

f(0)=0

\[\lim_{x\rightarrow 0} x.ln(x^{2})\]

\[2.\lim_{x\rightarrow 0} x.ln(x)\]

\[2.\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}\]

Tenemos infinito sobre infinito asi que aplicamos L'Hopital (porque ambas funciones, tanto denominador como numerador, son derivables)

\[2.\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}\]

\[2.\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}.(-x^{2})\]

\[2.\lim_{x\rightarrow 0} (-x)\]

\[0\]

Como el limite en 0 y f(0) existen y son iguales, es continua en x=0

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Para el tema de la derivabilidad, la hacemos por definicion:

\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

\[f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]

\[f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x.ln(x^{2})}{x}\]

\[f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}ln(x^{2})\]

\[f'(0)=2.\lim_{x\rightarrow 0}ln(x)\]

Y aca el limite por izquierda no existe, y por derecha es -infinito, asi que me parece que no es derivable. Que alguien te lo confirme porque hace rato que no toco límites

Muchas gracias por la pronta respuesta sentey. El 2 que eleva se puede sacar asi nomas? No hace falta que este sola la funcion del logaritmo?

Concuerdo con la respuesta de sentey.

El 2 puedesalir xq es una propiedad de logaritmos ( el exp se baja multiplicando). Como tiene el resto multiplicando no hay drama. Si tuvieser algo sumando lo bajas igual pero quea multiplicando al ln, no se s era esa tu duda

(15-02-2013 21:46)javierc90 escribió:  Concuerdo con la respuesta de sentey.

El 2 puedesalir xq es una propiedad de logaritmos ( el exp se baja multiplicando). Como tiene el resto multiplicando no hay drama. Si tuvieser algo sumando lo bajas igual pero quea multiplicando al ln, no se s era esa tu duda

Ah, esta bien entonces, gracias

Igual todavia no entendi como es eso que puedo derivar el lim x->0 (en la continuidad) pero todavia no probe que existe la derivabilidad en x->0 por definicion, si alguien me lo puede aclarar se lo agradeceria

Para probar la continuidad Sentey utilizó L´hopital, no derivó a toda la funcion...simplemente derivo el de arriba y al de abajo, ya que el limite de dicha division es nuevamente, por propiedad del teorema de L´hopital, igual al limite de la division de sus derivadas.

(15-02-2013 22:37)Taylor escribió:  Para probar la continuidad Sentey utilizó L´hopital, no derivó a toda la funcion...simplemente derivo el de arriba y al de abajo, ya que el limite de dicha division es nuevamente, por propiedad del teorema de L´hopital, igual al limite de la division de sus derivadas.

Ah, ahi entendi perfecto, no estoy derivando la funcion sino que derivo lo que transforme en una division. Muchisimas gracias!

Fue todo obra del gran Sentey

Off-topic:

(15-02-2013 23:48)Taylor escribió:  Fue todo obra del gran Sentey

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BTW, no me llego el MP notificandome que me mencionaron (será porque pusiste sentey con S mayuscula?)

sentey es que sos uno de mis ídolos, junto a Saga