Bueno,tengo una duda de análisis II.El ejerccicio dice lo sigueiente,verifique que el siguiente campo vectorial admite función potencial.De exisitir determinela....

f(x,y) = (y-2xy+1,x+1-2x)....

tengo entendido que lo único que hay que hacer es verificar que la función sea continua no?
¿Como construyo la función potencial?

El hecho que un campo vectorial admita función potencial, es otra manera de expresar que el campo dado sea el gradiente de una campo escalar. Es decir, si el campo de vectores es en efecto un gradiente, entonces existe una familia de campos escalares diferenciables a los cuales éste les corresponde.

Una manera sencilla de probar esta condición es suponer que la familia de campos escalares, a la cual corresponde el campo vectorial dado, es de clase dos (diferenciable con derivadas parciales continuas hasta el segundo orden de derivación). Esto implica que existirán las derivadas parciales segundas y serán continuas en el dominio del campo original.

Bajo tal hipótesis se aplica el Teorema de Clairaut (a veces se le atribuye a Schwarz), que implica la conmutatividad de los órdenes de derivación en las derivadas parciales cruzadas. Para un campo en dos variables independientes, el teorema se reduce a:

\[\frac{\partial }{\partial x}\left (\frac{\partial U}{\partial y} \right )=\frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{\partial U}{\partial x} \right )\]

Luego, las dos componentes del campo propuesto coinciden por hipótesis con las derivadas parciales de un campo escalar genérico:

\[f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2/f(x,y)=(y-2xy+1,x+1-2x)\]
\[\left ( \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}\right )=(y-2xy+1,x+1-2x)\]

\[\frac{\partial(x+1-2x) }{\partial x}=\frac{\partial (y-2xy+1)}{\partial y}\]
\[-1=1-2x\]

Se llega a un resultado absurdo, con lo cual se rechaza la hipotesis inicial de que el campo admitía función potencial.


Saludos

Antes que nada,gracias por la respuesta.Reconozco que "mande cualquiera" [citation needed].
El campo estaba dado por \[ f(x,y)= (y-2xy+1, x+1-x^2)\] , el último término era x^2 y la condicion de derivadas parciales se verifica,derivando la primera respecto de \[y\] y la segunda respecto de \[x\].

(23-11-2011 02:13)rulo escribió:  Antes que nada,gracias por la respuesta.Reconozco que "mande cualquiera" [citation needed].
El campo estaba dado por \[ f(x,y)= (y-2xy+1, x+1-x^2)\] , el último término era x^2 y la condicion de derivadas parciales se verifica,derivando la primera respecto de \[y\] y la segunda respecto de \[x\].

Ningún problema che, es un gusto poder dar una mano.

Siguiendo con la explicación, ahora sí, sabiendo que se verifica la condición de igualdad de las derivadas parciales cruzadas, puede afirmarse que existirá una apropiada familia de campos escalares \[(U)\in C^{2}\]
Lo siguiente es plantear el sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que constituye en sí mismo el gradiente vectorial que se dispone como dato. Luego:

\[\frac{\partial U}{\partial x}=y-2xy+1\]
\[\frac{\partial U}{\partial y}=x+1-x^{2}\]

Para obtener la familia de campos escalares se realiza la integración parcial de las ecuaciones precedentes. El algoritmo es sencillo, pero debe llevarse a cabo siguiendo un orden para evitar confusiones. Para un sistema de n ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (en n variables independientes):

1) Se elige una de las ecuaciones diferenciales parciales del sistema y se la integra parcialmente respecto de la variable en cuestión. En lugar de obtenerse una primitiva más una constante de integración, se suma una función dependiente de todas las variables excluídas en la integración parcial, es decir, un campo indeterminado dependiente de (n-1) variables.

2) Se deriva parcialmente la expresión obtenida en el paso previo respecto de una de las restantes variables independientes, y se iguala el resultado a la ecuación diferencial parcial correspondiente.

3) Se itera el paso previo hasta agotar todas las ecuaciones disponibles. Se obtendrá así un sistema de (n-1) ecuaciones diferenciales en derivadas parciales correspondientes al campo obtenido en el primer paso, al cual corresponderá a su vez un sistema resultante de (n-2) ecuaciones diferenciales. Finalmente, este proceso continúa hasta obtener una única ecuación diferencial ordinaria que redunda en una función escalar más una constante de integración. El procedimiento permite así obtener la expresión del campo original en las n variables independientes más la constante de integración obtenida en el último paso.

Para este caso particular, n=2 y únicamente se obtiene una función indeterminada en una sola variable, con lo cual se obtiene de inmediato la ecuación diferencial ordinaria mencionada en el inciso 3) :

\[1) \int \left (\frac{\partial U}{\partial x} \right ){\partial x}=\int \left (y-2xy+1 \right ){\partial x}=yx-x^{2}y+x+\gamma (y)\]
\[2) \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial (yx-x^{2}y+x+\gamma (y))}{\partial y}=x-x^{2}+\frac{\mathrm{d\gamma} }{\mathrm{d} y}=x+1-x^{2}\]
\[3) \frac{\mathrm{d\gamma} }{\mathrm{d} y}=1\Rightarrow \gamma(y)=y+K;K:cte\]

Finalmente, la familia de campos escalares resulta:

\[U:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}/U(x,y)=y(x+1)+x-x^{2}+K\]

La constante K se determina con una condición de contorno sobre el campo potencial. Por ejemplo:

\[U(0,1)=3\Rightarrow 1(0+1)+0-0^{2}+K=3\Rightarrow K=2\]

(23-11-2011 00:42)rulo escribió:  tengo entendido que lo único que hay que hacer es verificar que la función sea continua no?

Son dos condiciones la necesaria y suficiente:

La necesaria: si f es clase uno (derivadas primeras continuas), campo conservativo, entonces el la matriz jacobiana de f es simetrica, monoantunes lo explica con mas de detalles

La suficiente: f es clase uno tal que la matriz jacobiana es simetrica y ademas el dominio de f es simplemente conexo entonces f es campo conservativo

Cita:¿Como construyo la función potencial?

Como se detallo mas arriba

\[f=\nabla U=(f_1,f_2)=\left(\frac{dU}{dx},\frac{dU}{dy}\right)\]

son tres pasos a seguir

\[1) U(x,y)=\int \frac{dU}{dx}dx=A(x,y)+T(y)\]

\[2) U(x,y)=\int \frac{dU}{dy}dy=B(x,y)+T(x)\]

3) Para hallar la funcion potencial \[U(x,y)\] se realiza la "union" entre \[A(x,y) \mbox{ y } B(x,y)\] y se agregan los terminos que no esten repetidos

en tu ejemplo

\[\\U(x,y)=\int \frac{dU}{dx}dx=yx-x^2y+x+T(y)\]


\[U(x,y)=\int \frac{dU}{dy}dy=xy+y-x^2y+T(x)\]

finalmente

\[U(x,y)=yx-x^2y+x+y+K\]

saludos

MIles de gracias, Saga y Monoatunes!.

(23-11-2011 08:31)Saga escribió:  La necesaria: si f es clase uno (derivadas primeras continuas), campo conservativo, entonces el la matriz jacobiana de f es simetrica, monoantunes lo explica con mas de detalles

La suficiente: f es clase uno tal que la matriz jacobiana es simetrica y ademas el dominio de f es simplemente conexo entonces f es campo conservativo

Gracias Saga, muy bueno tu aporte. Me había olvidado de la topología del dominio .

En otras palabras, un dominio simplemente conexo es una región de \[\mathbb{R}^n\] en la cual se puede trazar una curva simple cerrada o de Jordan (e.d. una curva \[C\sim g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n/g(t)\] que es una biyección respecto de su soporte en \[D_{g}\subset \mathbb{R}\] es decir que "no se corta a si misma" -la función vectorial que la describe no tiene como imágen dos veces el mismo punto) y dicha curva "puede acortarse indefinidamente en el entorno de cada punto que compone dicho dominio, sin jamás contener puntos que no pertenezcan a éste". Este proceso de "acortamiento" se formaliza mediante el concepto de homotopía, y básicamente implica que para pasar de una curva a la siguiente, "más corta" (descipta aquí mediante una función primada) se define una función continua del tipo \[H:g(t)\times [0,1]\rightarrow g'(t)/H(g,u)\] o sea que se evoluciona suavemente (sin saltos) desde la curva original \[H(g,0)\] a la final \[H(g,1)\] pasando por todos los estados intermedios para \[u\in (0,1)\]



En la definición de dominio simplemente conexo, la curva final a la cual se evoluciona de forma continua es un punto. Se puede visualizar como una circunferencia o una elipse que van reduciendo sus radios hasta converger en su centro.

Informalmente, un recinto no simplemente conexo (denominado múltiplemente conexo) es aquel en que el proceso de convergencia homotópica a un punto dado, de una curva de Jordan arbitraria, no puede realizarse sin "abandonar" el recinto (e.d. el proceso de reducción continua de la longitud de la curva de Jordan original rinde en algún momento una curva con, al menos, un punto que no pertenece al recinto). En los espacios bidimensional y tridimensional, se puede visualizar un dominio múltiplemente conexo con una región con agujeros: evidentemente, cualquier punto de acumulación perteneciente a un agujero fallará en verificar la condición planteada.



¿Por qué es condición suficiente para la existencia de un campo potencial que, dada la conmutatividad de las derivadas parciales cruzadas continuas del campo vectorial dado, el dominio sobre el que está definido resulte un recinto simplemente conexo? El hecho es que un campo escalar es una función de punto (denominada función de estado en contexto físico, donde la imagen del campo resulta un parámetro físico, como la energía interna en Termodinámica) y por lo tanto cualquier variación en éste es independiente de la trayectoria de estados intermedios que conecta los puntos inicial y final. Evidentemente, en un dominio múltiplemente conexo no todos los "caminos" entre dos puntos son posibles, y la condición de independencia del trayecto (así como su corolario, el valor nulo de la integral curvilínea cerrada del gradiente del potencial) no se cumplen.

Saga, en resumen:

1) f:HcR^n-->R^n, f e C1, Df simétrico, H abierto, se dice que f es un campo conservativo si existe q:HcR tal que f = Vq

2) f:HcR^n-->R^n, f e C1, H abierto, campo conservativo. -> Df es simétrica.

3) f:HcR^n-->R^n, f e C1, Df simétrico, H abierto y simplemente conexo -> f es conservativo.

La 1 sería la definición, la 2 la condición necesaria y la 3 la condición suficiente?

asi es leandrong