Hola que tal cómo les va. Tengo algunas dudas sobre ejercicios de Recuperatorio B de AGA, Prof. Bertoa (excelente profesor, el que falla soy yo) que no me puedo sacar porque estoy enredado, y quizás con otro enfoque pueda encararlos mejor.

Primero: Sea la matriz A = \[\begin{bmatrix}2 &0 &0 & \\ 0&h &0 & \\ -1 &1 &1 & \end{bmatrix}\]. Halle todos los valores de h para los cuales A no es diagonalizable.

Segundo: Halle y grafique todos los números complejos que satisfacen la siguiente desigualdad: \[\left | z -1 +2i | \leq Img (z)\]

Y por último la que considero más dificil (porque no cazo una de TLs)

Sean \[B = {(1,1,-1),(0,0,1),(1,0,1)} \] y \[B' = {(0,0,1),w,(0,1,1)} \] bases de \[\mathbb{R}^{3}\] y sea \[T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\] la transformación lineal tal que \[M(T)_{BB'}=\begin{bmatrix}1 &2 &0 \\ -1 &0 &-2 \\ 3 &2 &4 \end{bmatrix}\]. Determine w sabiendo que \[T(0,-1,4) = (-1,5,7)\]. Para el w hallado determine una base del conjunto imagen.

Desde ya les agradezco cualquier ayuda que me tiren con esto, ya con saber cualquiera de los 3 tengo un arma más para defenderme en el parcial.

Saludos y perdón por la extensión!

para el 2 tenes que


\[img(z)=\frac{z-¨z¨}{2i}\]

la zeta que es ¨z¨ , es el numero conjugado, pasa que no encontre el simbolito.

Hola, que tal!
Para el primero, la matriz A es triangular, o sea, que sus auto valores son los elementos de la diagonal (2,h,1). Te piden para que A no sea diag., si los auto valores son distintos A pasa a ser diagonalizable, pero si h es 1 o 2, habría que analizar el orden de multiplicidad algebraica y el orden de multiplicidad geométrica. Si estos coinciden es diagonalizable, caso contrario, no lo es. Así que habría que calcular los auto valores para h=2 y h=1, analizar los ordenes de multiplicidad y en el caso que no coincidan, la matriz A para ese valor de H no es diagonalizable.

Es lo que se me ocurrió,
Saludos y éxitos!

El de TL es medio largo, tenes que utilizar la definicion

\[[T(x)]_{B'}=M(T)_{BB'}[x]_B\]

La matriz multiplica coordenadas entonces necesitas las coordenadas de un vector (x,y,z) expresado en combinacion lineal con la base B

\[(x,y,z)=\alpha(1,1,-1)+\beta(0,0,1)+\gamma(1,0,1)\]

una vez que encontres los valores de alfa beta y gamma multiplicas esas coordenadas por la matriz que te dan, esa multiplicacion estara en en base B para expresarla en base B' solo tenes que

reemplazar por la base B a la base B' o sea ponele que alfa =a(x,y,z) beta=b(x,y,z) gamma =c(x,y,z) funciones de x y z

\[[T(x,y,z)]_{B'}=a(x,y,z)(1,1,-1)+b(x,y,z)(0,0,1)+c(x,y,z)(1,0,1)\]

para sacar el corchete

\[T(x,y,z)=a(x,y,z)(0,0,1)+b(x,y,z)(a',b',c')+c(x,y,z)(0,1,1)\]

siendo

w=(a',b',c')

una vez que hagas eso para determinar los valores del vector w usas el dato que

\[\\T(0,-1,4)=a(x,y,z)(0,0,1)+b(x,y,z)(a',b',c')+c(x,y,z)(0,1,1)=(-1,5,7)\]

reemplazas las x y z haces igualdad de vectores y te queda un sistema de 3x3 a resolver , se entiende ?

Diagonalizacion te respondio fnliendomolina, que es lo que tenes que hacer

Complejos maik te tiro una idea , no comento porque no vi en mi cursada complejos

Primero gracias a todos, y con respecto al segundo, fnliendomolina, con los datos que me diste creo que lo que me convendría es calcular h para que la matriz SEA diagonalizable, y por comprensión los demás valores me darían una matriz no diagonalizable. Estoy por ir al trabajo así que no analicé todo, en un rato con más tiempo lo hago.

Gracias, saludos!

Bueno Juan, si te resulta mas fácil de esa manera esta bien. Subí la resolución con tu método, así comparamos después.

Saludos!

(07-07-2014 10:36)juanmab58 escribió:  respecto al segundo, fnliendomolina, con los datos que me diste creo que lo que me convendría es calcular h para que la matriz SEA diagonalizable, y por comprensión los demás valores me darían una matriz no diagonalizable

No es tan asi, es obvio que si h es distindo de 2 o 1 la matriz por ser triangular inferior es diagonalizable seguro , pero para valores iguales hay que ver que pasa con la multiplicidad geometrica, si coincide con la algebraica entonces sera diagonalizable si no, nó, en realidad la idea que te dio fnliendomolina es el camino mas adecuado para determinar si esa matriz es o no diagonalizable

En el segundo remplazá z por (x;y)
Restarle -1 + 2i es restarle un complejo (1,-2)
Im(z) = Imagen de un (x;y) = Y

|(X;Y) - (1;-2)| < Y

√ [(X-1)² + (Y+2)²] < Y

Elevás al cuadrado ambos miembros

(X-1)² + (Y+2)² < Y²

X² - 2X + 1 + Y² + 2Y + 1 < Y²

Vuelan las y

X² - 2X + 1 + + 2Y + 1 < 0

X² - 2X < -2Y - 2

Completás cuadrados y queda

(X-1)² < -2Y - 2 + 1

(X-1)² < -2Y - 1

(X-1)² < -2(Y + ½)

Te queda esa parábola y tenés que fijarte si se cumple adentro o afuera.