Hola, estoy haciendo finales y no sé como resolver un tipo de ejercicios en los que te dan una ec. de una cónica con rototraslación y hay que hallar k según lo que te pidan.

Por ejemplo:

Sea la curva x²- 2Kxy + 3y²=0
Halle el conjunto de valores de K tales que la curva sea:
a) Un par de rectas
b) Una elipse
c) Una hipérbola


Agradezco muchísimo su ayuda!

Tenes que hacer rototraslacion de la manera "normal", identico a como lo harias si no estuviese la "k". Despues, llegas a una ecuacion canónica, y ahí recien analizas el tema de los valores de K, se entiende? Sino, avisa que lo resuelvo

para que sean rectas $$\lambda*\lambda =0$$
para que sea elipse $$\lambda *\lambda > 0$$
para que sea hiperbola $$\lambda *\lambda < 0$$

Aca vemos que toxp aplicando algo de teoría lo saca más rápido y en menos pasos!

ja, es hacer lo que vos le dijistes, y dsp cuando tenes la cuadratica, haces eso que puse yo, osea para que sean par de rectas, no tiene que haber termino independiente por ejemplo, y dsp haces las inecuaciones para elispe e hiperbola.

A ver...

La matriz quedaría asi:



Saco los autovalores:



Igualado a 0, queda:

$$(1-\lambda )(3-\lambda )-k^{2}=0$$

$$3-\lambda -3\lambda +\lambda ^{2}-k^{2}=0$$

$$\lambda ^{2}+(-4)\lambda+(3-k^{2})=0$$

(23-02-2012 21:49)toxp escribió:  para que sean rectas $$\lambda*\lambda =0$$
para que sea elipse $$\lambda *\lambda > 0$$
para que sea hiperbola $$\lambda *\lambda < 0$$

Ok, si, esto lo había visto en las resoluciones, pero no me quedó del todo claro...con lo que puso franco entendí mejor.

Muchas gracias a los dos!

ahi hace la distributiva, te queda $$\lambda ^2-4\lambda +3-k^2=0$$

entonces para que sean par de rectas, $$\lambda *\lambda =0$$ , osea que un lambda tiene que valer 0, para que pase eso, no tiene que haber termino independiente, osea que $$3-k^2=0$$

para que sea elipse, planteas lo mismo, que $$\lambda *\lambda > 0$$ , osea que el termino independiente tiene que ser positivo, osea $$-k^2+3> 0$$
y para la hiperbola lo mismo, $$\lambda *\lambda < 0$$ , osea que el termino independiente tiene que ser negativo, osea $$-k^2+3< 0$$

resolves las inecuaciones y listo