Hola, estoy haciendo finales y no sé como resolver un tipo de ejercicios en los que te dan una ec. de una cónica con rototraslación y hay que hallar k según lo que te pidan.

Por ejemplo:

Sea la curva x²- 2Kxy + 3y²=0
Halle el conjunto de valores de K tales que la curva sea:
a) Un par de rectas
b) Una elipse
c) Una hipérbola


Agradezco muchísimo su ayuda!

Tenes que hacer rototraslacion de la manera "normal", identico a como lo harias si no estuviese la "k". Despues, llegas a una ecuacion canónica, y ahí recien analizas el tema de los valores de K, se entiende? Sino, avisa que lo resuelvo

para que sean rectas \[\lambda*\lambda =0 \]
para que sea elipse \[\lambda *\lambda > 0\]
para que sea hiperbola \[\lambda *\lambda < 0\]

Aca vemos que toxp aplicando algo de teoría lo saca más rápido y en menos pasos!

ja, es hacer lo que vos le dijistes, y dsp cuando tenes la cuadratica, haces eso que puse yo, osea para que sean par de rectas, no tiene que haber termino independiente por ejemplo, y dsp haces las inecuaciones para elispe e hiperbola.

A ver...

La matriz quedaría asi:



Saco los autovalores:



Igualado a 0, queda:

\[(1-\lambda )(3-\lambda )-k^{2}=0\]

\[3-\lambda -3\lambda +\lambda ^{2}-k^{2}=0\]

\[\lambda ^{2}+(-4)\lambda+(3-k^{2})=0\]

(23-02-2012 21:49)toxp escribió:  para que sean rectas \[\lambda*\lambda =0 \]
para que sea elipse \[\lambda *\lambda > 0\]
para que sea hiperbola \[\lambda *\lambda < 0\]

Ok, si, esto lo había visto en las resoluciones, pero no me quedó del todo claro...con lo que puso franco entendí mejor.

Muchas gracias a los dos!

ahi hace la distributiva, te queda \[\lambda ^2-4\lambda +3-k^2=0\]

entonces para que sean par de rectas, \[\lambda *\lambda =0\], osea que un lambda tiene que valer 0, para que pase eso, no tiene que haber termino independiente, osea que \[3-k^2=0\]

para que sea elipse, planteas lo mismo, que \[\lambda *\lambda > 0\], osea que el termino independiente tiene que ser positivo, osea \[-k^2+3> 0\]
y para la hiperbola lo mismo, \[\lambda *\lambda < 0\], osea que el termino independiente tiene que ser negativo, osea \[-k^2+3< 0\]

resolves las inecuaciones y listo