Estrenando mi ingreso a este foro con 2 problemas que necesito entender si los he planteado bien, no estoy seguro si el desarrollo sea el correcto hasta donde los hice.Igualmente estoy algo trabado. Espero que puedan ayudarme a clarificar ideas. Desde ya gracias

1) En el conjunto A = {3^0, 3^1, 3^2, 3^3 } se define la operación * por :
a*b = 3^m. 3^n = 3^r con r = m +n, si m +n < 4 , y, m +n – 4 si m +n >= 4
Se pide estudiar las propiedades y elementos notables de *.
2) En el conjunto Z, de los números enteros, se define la operación  de la forma que se da a continuación: a*b = b + 2 |a .b|
Se pide indicar si es cerrada en Z, cuáles son las propiedades que cumple, si tiene neutro, si hay elementos con simétrico, elementos idempotentes y/o absorbentes.

P.D: prometo que luego que mi TP sea corregido, todos los ejercicios bien resueltos los publicaré para algún interesado.

ClauQ3 escribió:2) En el conjunto Z, de los números enteros, se define la operación  de la forma que se da a continuación: a*b = b + 2 |a .b|
Se pide indicar si es cerrada en Z, cuáles son las propiedades que cumple, si tiene neutro, si hay elementos con simétrico, elementos idempotentes y/o absorbentes.

Intento ayudarte con éste por que me parece que el otro es más largo y no tengo mucho tiempo .

Se define la operación * sobre Z tal que:
a * b = b + 2 |a.b|

Es decir, * recibe dos valores pertencientes a Z y da otro valor. Esto se suele expresar:

* : ZxZ --> A

Para que sea una operación cerrada en Z, se debería cumplir A = Z (o incluido), es decir:

* ZxZ --> Z

Esto se denomina "ley interna de * ".

Es decir, para probar que * es ley interna en Z, hay que ver que dados dos enteros a y b, a*b siempre de otro entero. Probar esto puede ser fácil o difícil según el caso, es un poco de ingenio.

En este caso, podés separar la operación en los términos de la suma:

a
+
2|a.b|

El según también lo abrís:

2
.
|a.b|

El último lo podés considerar como una función módulo aplicada sobre la multiplicación convencional entre a y b.

modulo(a.b)

Sabés que a.b, si son enteros, van a dar otro entero, por ley interna de la multiplicación.
Sabés que el módulo da entero si el argumento es entero, ya que como mucho le cambia el signo (de negativo a positivo).
Ahora, yendo para atrás, saber que multiplicar por 2 un entero, da otro entero. Y sabés que sumarle un entero (a) a otro entero (el resultado de 2|a.b|) da otro entero, por lo cual verificás que * es ley interna en Z (si te diera que el conjunto solución pueden ser los naturales está bien, porque está incluido... lo importante es no salirse de él).

Para que tenga neutro se tiene que cumplir que exista un elemento "e" perteneciente a los enteros tal que:

a * e = e * a = a

Para eso, planteas los dos casos:
a * e = a
e * a = a

Lógicamente, si probás que la operación * es conmutativa en los enteros, alcanza con probar un sólo caso. Pero todavía no lo sabés (y casi seguro que no lo es, a simple vista, ya que le sumás por fuera siempre "a", el primer valor).

Entonces planteas un lado y tratás de llegar al otro:

a * e = a + 2|a.e|

Como querés que eso te de "a":

planteas a + 2|a.e| = a, y despejás "e" para ver qué valor cumple esto. Operás sobre los enteros, ya que son las operaciones suma, multiplicación y módulo tradicionales:

a + 2|a.e| = a
2|a.e| = 0
|a.e| = 0
a.e = 0 <==> a = 0 v e = 0

Acá no podés tomar el caso a = 0 porque entonces no se cumpliría para todos los enteros a, b, sino para todos los enteros b y a = 0, y no es lo que buscás. Entonces tomás que e = 0, que además verifica porque es un valor posible de Z (si estuvieras en N no habría neutro porque nunca podrías tomar un elemento = 0, se enteinde?).

Para que sea neutro, se tiene que cumplir por el otro lado. Probás con e = 0, ya que sabés que por derecha no hay otro valor qeu pueda ser neutro. Si e = 0 no puede ser neutro por izquierda (o sea, no cumple que e * a = a), entonces * no tiene neutro en Z.

e * a = e + 2|a.e|

Reemplazo e = 0:

0 * a = 0 + 2|a.0| = 0 + 0 = 0

En este caso, el 0 absorve a "a", por lo cual no es neutro sino absorvente. Pero como no se cumple para ambos lados de la operación, no podemos decir ni que es neutro ni absorvente.
Además, vemos así también que la operación no es conmutativa, ya que un caso de un elemento entero = 0 lo pudo demostrar.

No sé si en discreta se aceptan absorventes por derecha o izquierda, creo que no. Si se acepta, 0 es un absorvente por izquierda.

IDEMPOTENCIA:

Debe existir algún elemento x tal que:

x * x = x

Entonces probamos:

x * x = x + 2|x.x|

Buscamos x + |x.x| = x, despejando: |x.x| = 0, por lo cual x = 0 es idempotente (lo que es idempotente es un elemento en una operación sobre un conjunto, no la operación en sí).

SIMÉTRICO

Debe cumplirse que exista un elemento a' asociado a un elemento "a", tal que:

a * a' = a' * a = e, donde "e" es el neutro.

Sin embargo, vimos que no hay elemento neutro, por lo cual no podemos continuar (no existiría el concepto de simétrico en este caso).

Como no hay neutro, tampoco se puede hablar de subgrupos o grupos (no sé si vieron eso ya).

La verdad que es un caso muy raro, porque sin neutro muchas cosas ya no se pueden cumplir, capaz entendí mal la operación *. Si es así, aclará y te trato de ayudar de nuevo .
Espero que te haya servido esto igual.

ClauQ3 escribió:P.D: prometo que luego que mi TP sea corregido, todos los ejercicios bien resueltos los publicaré para algún interesado.

Bárbaro! Seguro le sirva a más de uno, gracias!

Ni lo toman eso creo ya!

pablo escribió:

ClauQ3 escribió:2) En el conjunto Z, de los números enteros, se define la operación  de la forma que se da a continuación: a*b = b + 2 |a .b|
Se pide indicar si es cerrada en Z, cuáles son las propiedades que cumple, si tiene neutro, si hay elementos con simétrico, elementos idempotentes y/o absorbentes.

Intento ayudarte con éste por que me parece que el otro es más largo y no tengo mucho tiempo :P.

Se define la operación * sobre Z tal que:
a * b = b + 2 |a.b|

Es decir, * recibe dos valores pertencientes a Z y da otro valor. Esto se suele expresar:

* : ZxZ --> A

Para que sea una operación cerrada en Z, se debería cumplir A = Z (o incluido), es decir:

* ZxZ --> Z

Esto se denomina "ley interna de * ".

Es decir, para probar que * es ley interna en Z, hay que ver que dados dos enteros a y b, a*b siempre de otro entero. Probar esto puede ser fácil o difícil según el caso, es un poco de ingenio.

En este caso, podés separar la operación en los términos de la suma:

a
+
2|a.b|

El según también lo abrís:

2
.
|a.b|

El último lo podés considerar como una función módulo aplicada sobre la multiplicación convencional entre a y b.

modulo(a.b)

Sabés que a.b, si son enteros, van a dar otro entero, por ley interna de la multiplicación.
Sabés que el módulo da entero si el argumento es entero, ya que como mucho le cambia el signo (de negativo a positivo).
Ahora, yendo para atrás, saber que multiplicar por 2 un entero, da otro entero. Y sabés que sumarle un entero (a) a otro entero (el resultado de 2|a.b|) da otro entero, por lo cual verificás que * es ley interna en Z (si te diera que el conjunto solución pueden ser los naturales está bien, porque está incluido... lo importante es no salirse de él).

Para que tenga neutro se tiene que cumplir que exista un elemento "e" perteneciente a los enteros tal que:

a * e = e * a = a

Para eso, planteas los dos casos:
a * e = a
e * a = a

Lógicamente, si probás que la operación * es conmutativa en los enteros, alcanza con probar un sólo caso. Pero todavía no lo sabés (y casi seguro que no lo es, a simple vista, ya que le sumás por fuera siempre "a", el primer valor).

Entonces planteas un lado y tratás de llegar al otro:

a * e = a + 2|a.e|

Como querés que eso te de "a":

planteas a + 2|a.e| = a, y despejás "e" para ver qué valor cumple esto. Operás sobre los enteros, ya que son las operaciones suma, multiplicación y módulo tradicionales:

a + 2|a.e| = a
2|a.e| = 0
|a.e| = 0
a.e = 0 <==> a = 0 v e = 0

Acá no podés tomar el caso a = 0 porque entonces no se cumpliría para todos los enteros a, b, sino para todos los enteros b y a = 0, y no es lo que buscás. Entonces tomás que e = 0, que además verifica porque es un valor posible de Z (si estuvieras en N no habría neutro porque nunca podrías tomar un elemento = 0, se enteinde?).

Para que sea neutro, se tiene que cumplir por el otro lado. Probás con e = 0, ya que sabés que por derecha no hay otro valor qeu pueda ser neutro. Si e = 0 no puede ser neutro por izquierda (o sea, no cumple que e * a = a), entonces * no tiene neutro en Z.

e * a = e + 2|a.e|

Reemplazo e = 0:

0 * a = 0 + 2|a.0| = 0 + 0 = 0

En este caso, el 0 absorve a "a", por lo cual no es neutro sino absorvente. Pero como no se cumple para ambos lados de la operación, no podemos decir ni que es neutro ni absorvente.
Además, vemos así también que la operación no es conmutativa, ya que un caso de un elemento entero = 0 lo pudo demostrar.

No sé si en discreta se aceptan absorventes por derecha o izquierda, creo que no. Si se acepta, 0 es un absorvente por izquierda.

IDEMPOTENCIA:

Debe existir algún elemento x tal que:

x * x = x

Entonces probamos:

x * x = x + 2|x.x|

Buscamos x + |x.x| = x, despejando: |x.x| = 0, por lo cual x = 0 es idempotente (lo que es idempotente es un elemento en una operación sobre un conjunto, no la operación en sí).

SIMÉTRICO

Debe cumplirse que exista un elemento a' asociado a un elemento "a", tal que:

a * a' = a' * a = e, donde "e" es el neutro.

Sin embargo, vimos que no hay elemento neutro, por lo cual no podemos continuar (no existiría el concepto de simétrico en este caso).

Como no hay neutro, tampoco se puede hablar de subgrupos o grupos (no sé si vieron eso ya).

La verdad que es un caso muy raro, porque sin neutro muchas cosas ya no se pueden cumplir, capaz entendí mal la operación *. Si es así, aclará y te trato de ayudar de nuevo :).
Espero que te haya servido esto igual.

Antes q nada gracias por tomarte el tiempo para desarrollar el ejercicio. Paso a comentar lo q tengo hasta ahora

En el caso del ejercicio 1) planteé lo siguiente a ver si podés decirme si fui por buen camino

A mi parecer la ley de composición interna se cumple ya que operando con los elementos de A, la + o - de potencias según las reglas de esa operación binaria caen dentro de tal conjunto.

Asociativa:

(a*b)*c=a*(b*c) entonces empiezo

(a*b)*c= (3^m.3^n)*c=3^m.3^n.3^n acá entra la consideración de que si:

m+n<4 ----> 3^m.3^n.3^n=3^(m+n+n)=3^(m+2n) caso (1)

m+n>=4 ---->3^m.3^n.3^n=3^(m+n+n-4)=3^(m+2n-4) caso (2)

ahora

a*(b*c)=a*(3^m.3^n)=3^m.3^m.3^n de vuelta a considerar

m+n<4 ----> 3^m.3^m.3^n=3^(2m+n) caso (1)´

m+n>=4 ---->3^m.3^m.3^n=3^(2m+n-4) caso (2)´

comparando veo que caso (1) con (1)´ son diferentes y (2) con (2)´ tb entonces no sería asociativa

conmutativa:

a*b=b*a

a*b=3^m.3^n

m+n<4 ------> 3^(m+n) (1)

m+n>=4 ------>3^(m+n-4) (2)

b*a=3^m.3^n

m+n<4 ------> 3^(m+n) (1)

m+n>=4 ------>3^(m+n-4) (2)

entonces se cumple la conmutatividad

elemento neutro:

a*e=e*a=a donde si e pertenece al conjunto A tiene q ser de la forma 3^t

a*e=3^m.3^t=3^m

m+n<4 ---> 3^(m+t)

m+n>=4 ---> 3^(m+t-4)

luego hay que igualarlos a "a"

3^(m+t)=3^m --> m+t=m si t= 0

3^(m+t-4)=3^m --> m+t-4=m si t=4

como es conmutativa deberia cumplirse por izq tb pero me da en un caso 3^0 y en otra 3^4 el cual no pertenece al conj por lo tanto como no es el mismo elemento supongo que no existe ( acá no estoy tan seguro )

elemento idempotente:

a*a=a 3^m.3^m=

m+n<4 ----> 3^(2m)

m+n>=4 ---->3^(2m-4)

3^(2m)=3^m entonces 2m=m si m=0

3^(2m-4)=3^m entonces 2m-4=m si m=4

entonces no existe

y antes de terminar con el elemento absorvente me gustaría saber si les parece que es coherente lo que hice. Aún sigo con dudas, son casos raros de operaciones binarias que no habia visto antes.

Espero respuestas..


Sobre el ejercicio 2) estuve planteandolo más o menos como vos pero sigo con dudas. Mañana si puedo consultaré con otros compañeros que están haciendo el tp. Realmente son casos raros de operaciones binarias y me tienen medio desorientado.Salu2

ClauQ3 escribió:En el caso del ejercicio 1) planteé lo siguiente a ver si podés decirme si fui por buen camino

A mi parecer la ley de composición interna se cumple ya que operando con los elementos de A, la + o - de potencias según las reglas de esa operación binaria caen dentro de tal conjunto.

Asociativa:

(a*b)*c=a*(b*c) entonces empiezo

(a*b)*c= (3^m.3^n)*c=3^m.3^n.3^n acá entra la consideración de que si:

m+n<4 ----> 3^m.3^n.3^n=3^(m+n+n)=3^(m+2n) caso (1)

m+n>=4 ---->3^m.3^n.3^n=3^(m+n+n-4)=3^(m+2n-4) caso (2)

ahora

a*(b*c)=a*(3^m.3^n)=3^m.3^m.3^n de vuelta a considerar

m+n<4 ----> 3^m.3^m.3^n=3^(2m+n) caso (1)´

m+n>=4 ---->3^m.3^m.3^n=3^(2m+n-4) caso (2)´

comparando veo que caso (1) con (1)´ son diferentes y (2) con (2)´ tb entonces no sería asociativa

Tené cuidado, porque consideraste que c = 3^n, y en realidad eso no lo podés suponer.

Vos sabés que c = 3^k, con algún k en {0,1,2,3}. Esa k no tiene por qué ser igual a m ó n, se entiende?

Probá haciéndolo así.

Esta operación lo que hace es cerrar los valores de los exponentes en {0,1,2,3}. Si viste. La operación de módulo congruencia (que después se usa la suma con la raya encima), es algo muuy similar, ya que los valores siempre giran entre {0, 1, 2, 3}, ya que se pierden los excesos. Por ejemplo, 3 + 2 = 1, ya que daría 5, entonces le restás 4, y te da 1. Lo que hacés es quedarte con el resto de la división, en este caso, el resto de 5 dividido 4. Eso es lo que pasa con los exponentes.
Fijate ahora, con un k genérico, y vas a ver que es asociativa, ya que te van a quedar los 2 términos según
m, n y k, distribuyas desde donde sea. Preguntame si no se entedió muy bien.

ClauQ3 escribió:conmutativa:

a*b=b*a

a*b=3^m.3^n

m+n<4 ------> 3^(m+n) (1)

m+n>=4 ------>3^(m+n-4) (2)

b*a=3^m.3^n

m+n<4 ------> 3^(m+n) (1)

m+n>=4 ------>3^(m+n-4) (2)

entonces se cumple la conmutatividad

Bien!

Te das cuenta si hacés la tabla de la operación también, ya que la tabla es simétrica (no sirve mucho de demostración igual para la cátedra).

ClauQ3 escribió:elemento neutro:

a*e=e*a=a donde si e pertenece al conjunto A tiene q ser de la forma 3^t

a*e=3^m.3^t=3^m

m+n<4 ---> 3^(m+t)

m+n>=4 ---> 3^(m+t-4)

luego hay que igualarlos a "a"

3^(m+t)=3^m --> m+t=m si t= 0

3^(m+t-4)=3^m --> m+t-4=m si t=4

como es conmutativa deberia cumplirse por izq tb pero me da en un caso 3^0 y en otra 3^4 el cual no pertenece al conj por lo tanto como no es el mismo elemento supongo que no existe ( acá no estoy tan seguro )

Está bien también, el elemento neutro es 3^0.

Lo conveniente en estos casos (cuando no tenés tantos valores en el conjunto) es hacer una tabla de la operación, para ver todos con todos. Si una columna y una fila te dan siempre el mismo elemento por el cual se opera, ese es el neutro.

En este caso, en la columna y fila de 3^0, siempre tenes 3^0, 3^1... etc., por lo cual 3^0 no influye en nada, mire desde donde se lo mire (izq o der). Esto te hace ver que 3^0 es el neutro.

Qué es lo que pasa con 3^4 (con t=4)? bueno, el tema es, como te dije antes, que el exponente "rota" sobre los valores {0,1,2,3}. 4 en esta operación es igual a 0, ya que 4 dividido 4 te da de resto 0 (así mismo, 8 es igual a 0, 12 es igual a 0, etc., y eso pasaría si multiplicás muchos términos del conjunto). Por eso, 3^4 = 3^0.

Igual, sin necesidad de complicarlo así, la conclusión a la que llegás es la correcta: se cumple si t = 4, pero t NUNCA será igual a 4, porque no existe 3^4 en el conjunto, por lo cual la única forma de que los términos sean iguales es con t = 0.

ClauQ3 escribió:elemento idempotente:

a*a=a 3^m.3^m=

m+n<4 ----> 3^(2m)

m+n>=4 ---->3^(2m-4)

3^(2m)=3^m entonces 2m=m si m=0

3^(2m-4)=3^m entonces 2m-4=m si m=4

entonces no existe

Idem acá que antes.

Vos llegás a la conclusión que se cumple si m = 0 ó m = 4. Fijate que hay una "o". m = 4 nunca, pero sí m = 0. Entonces, la condición para que haya idempotente existe, y el elemento es único (no tendría por qué cumplirse siempre esto último).
Es fácil darse cuenta cuando, en la diagonal de la tabla de la operación, el elemento da lo mismo al operarse con sí mismo. En este caso, 3^0 . 3^0 = 3^0. Está bueno ver esto así, con casos puntuales, porque se entiende más. Igual la demostración correcta es la formal como lo encaraste vos, pero te podés ayudar probando con casos.

Pensa que {3^0, 3^1, 3^2, 3^3} = {1, 3, 9, 27}, y la operación es la multiplicación, y sabés que 1 es idempotente para la multiplicación y los demás no.

ClauQ3 escribió:y antes de terminar con el elemento absorvente me gustaría saber si les parece que es coherente lo que hice. Aún sigo con dudas, son casos raros de operaciones binarias que no habia visto antes.

Es verdad, las operaciones que se bifurcan en casos, son de las más raras. Lo encaraste bien, sólo que lo interpretaste incorrectamente en algunos casos. Te conviene siempre verlo por las condiciones que necesitan cumplirse (como en "un caso o el otro", si sólo se cumple uno, entonces la condición es verdadera y existe el elemento).

ClauQ3 escribió:Sobre el ejercicio 2) estuve planteandolo más o menos como vos pero sigo con dudas. Mañana si puedo consultaré con otros compañeros que están haciendo el tp. Realmente son casos raros de operaciones binarias y me tienen medio desorientado.Salu2

Dale, cualquier cosa comentá lo que charlaron y trato de aportar algo si necesitás.

Saludos!

pablo escribió:

ClauQ3 escribió:En el caso del ejercicio 1) planteé lo siguiente a ver si podés decirme si fui por buen camino

A mi parecer la ley de composición interna se cumple ya que operando con los elementos de A, la + o - de potencias según las reglas de esa operación binaria caen dentro de tal conjunto.

Asociativa:

(a*b)*c=a*(b*c) entonces empiezo

(a*b)*c= (3^m.3^n)*c=3^m.3^n.3^n acá entra la consideración de que si:

m+n<4 ----> 3^m.3^n.3^n=3^(m+n+n)=3^(m+2n) caso (1)

m+n>=4 ---->3^m.3^n.3^n=3^(m+n+n-4)=3^(m+2n-4) caso (2)

ahora

a*(b*c)=a*(3^m.3^n)=3^m.3^m.3^n de vuelta a considerar

m+n<4 ----> 3^m.3^m.3^n=3^(2m+n) caso (1)´

m+n>=4 ---->3^m.3^m.3^n=3^(2m+n-4) caso (2)´

comparando veo que caso (1) con (1)´ son diferentes y (2) con (2)´ tb entonces no sería asociativa

Tené cuidado, porque consideraste que c = 3^n, y en realidad eso no lo podés suponer.

Vos sabés que c = 3^k, con algún k en {0,1,2,3}. Esa k no tiene por qué ser igual a m ó n, se entiende?

Probá haciéndolo así.

Esta operación lo que hace es cerrar los valores de los exponentes en {0,1,2,3}. Si viste. La operación de módulo congruencia (que después se usa la suma con la raya encima), es algo muuy similar, ya que los valores siempre giran entre {0, 1, 2, 3}, ya que se pierden los excesos. Por ejemplo, 3 + 2 = 1, ya que daría 5, entonces le restás 4, y te da 1. Lo que hacés es quedarte con el resto de la división, en este caso, el resto de 5 dividido 4. Eso es lo que pasa con los exponentes.
Fijate ahora, con un k genérico, y vas a ver que es asociativa, ya que te van a quedar los 2 términos según
m, n y k, distribuyas desde donde sea. Preguntame si no se entedió muy bien.

ClauQ3 escribió:conmutativa:

a*b=b*a

a*b=3^m.3^n

m+n<4 ------> 3^(m+n) (1)

m+n>=4 ------>3^(m+n-4) (2)

b*a=3^m.3^n

m+n<4 ------> 3^(m+n) (1)

m+n>=4 ------>3^(m+n-4) (2)

entonces se cumple la conmutatividad

Bien!

Te das cuenta si hacés la tabla de la operación también, ya que la tabla es simétrica (no sirve mucho de demostración igual para la cátedra).

ClauQ3 escribió:elemento neutro:

a*e=e*a=a donde si e pertenece al conjunto A tiene q ser de la forma 3^t

a*e=3^m.3^t=3^m

m+n<4 ---> 3^(m+t)

m+n>=4 ---> 3^(m+t-4)

luego hay que igualarlos a "a"

3^(m+t)=3^m --> m+t=m si t= 0

3^(m+t-4)=3^m --> m+t-4=m si t=4

como es conmutativa deberia cumplirse por izq tb pero me da en un caso 3^0 y en otra 3^4 el cual no pertenece al conj por lo tanto como no es el mismo elemento supongo que no existe ( acá no estoy tan seguro )

Está bien también, el elemento neutro es 3^0.

Lo conveniente en estos casos (cuando no tenés tantos valores en el conjunto) es hacer una tabla de la operación, para ver todos con todos. Si una columna y una fila te dan siempre el mismo elemento por el cual se opera, ese es el neutro.

En este caso, en la columna y fila de 3^0, siempre tenes 3^0, 3^1... etc., por lo cual 3^0 no influye en nada, mire desde donde se lo mire (izq o der). Esto te hace ver que 3^0 es el neutro.

Qué es lo que pasa con 3^4 (con t=4)? bueno, el tema es, como te dije antes, que el exponente "rota" sobre los valores {0,1,2,3}. 4 en esta operación es igual a 0, ya que 4 dividido 4 te da de resto 0 (así mismo, 8 es igual a 0, 12 es igual a 0, etc., y eso pasaría si multiplicás muchos términos del conjunto). Por eso, 3^4 = 3^0.

Igual, sin necesidad de complicarlo así, la conclusión a la que llegás es la correcta: se cumple si t = 4, pero t NUNCA será igual a 4, porque no existe 3^4 en el conjunto, por lo cual la única forma de que los términos sean iguales es con t = 0.

ClauQ3 escribió:elemento idempotente:

a*a=a 3^m.3^m=

m+n<4 ----> 3^(2m)

m+n>=4 ---->3^(2m-4)

3^(2m)=3^m entonces 2m=m si m=0

3^(2m-4)=3^m entonces 2m-4=m si m=4

entonces no existe

Idem acá que antes.

Vos llegás a la conclusión que se cumple si m = 0 ó m = 4. Fijate que hay una "o". m = 4 nunca, pero sí m = 0. Entonces, la condición para que haya idempotente existe, y el elemento es único (no tendría por qué cumplirse siempre esto último).
Es fácil darse cuenta cuando, en la diagonal de la tabla de la operación, el elemento da lo mismo al operarse con sí mismo. En este caso, 3^0 . 3^0 = 3^0. Está bueno ver esto así, con casos puntuales, porque se entiende más. Igual la demostración correcta es la formal como lo encaraste vos, pero te podés ayudar probando con casos.

Pensa que {3^0, 3^1, 3^2, 3^3} = {1, 3, 9, 27}, y la operación es la multiplicación, y sabés que 1 es idempotente para la multiplicación y los demás no.

ClauQ3 escribió:y antes de terminar con el elemento absorvente me gustaría saber si les parece que es coherente lo que hice. Aún sigo con dudas, son casos raros de operaciones binarias que no habia visto antes.

Es verdad, las operaciones que se bifurcan en casos, son de las más raras. Lo encaraste bien, sólo que lo interpretaste incorrectamente en algunos casos. Te conviene siempre verlo por las condiciones que necesitan cumplirse (como en "un caso o el otro", si sólo se cumple uno, entonces la condición es verdadera y existe el elemento).

ClauQ3 escribió:Sobre el ejercicio 2) estuve planteandolo más o menos como vos pero sigo con dudas. Mañana si puedo consultaré con otros compañeros que están haciendo el tp. Realmente son casos raros de operaciones binarias y me tienen medio desorientado.Salu2

Dale, cualquier cosa comentá lo que charlaron y trato de aportar algo si necesitás.

Saludos!

Bueno por lo visto me he equivocado pero el nuevo planteo viene más facil usando la famosa tabla.
Así que la pongo para que le pueda ser útil a alguien que le interese saber como plantear el ejercicio.

a*b | 3^0 | 3^1 | 3^2 | 3^3 |
-----------------------------------
3^0 | 3^0 | 3^1 | 3^2 | 3^3 |
-----------------------------------
3^1 | 3^1 | 3^2 | 3^3 | 3^0 |
-----------------------------------
3^2 | 3^2 | 3^3 | 3^0 | 3^1 |
-----------------------------------
3^3 | 3^3 | 3^0 | 3^1 | 3^2 |
-----------------------------------

Es conmutativa porque es simétrica respecto a la diagonal ( la pongo en cursiva )
El elemento neutro es 3^0 ya que representa la intersección de la fila-columna donde estan los elementos del mismo conjunto (lo puse en negritas)
El elemento simétrico es el mismo
El idempotente también y se ve pensando los elementos que resultan en la diagonal que cumplan que operando consigo mismos no cambian o sea a*a=a en este caso solo 3^0*3^0=3^0
Elemento absorvente no tiene, y se ve buscando fila y columna donde se repita 1 elemento en este caso no hay tal fila y columna.
Quedaría la asociativa que se plantea así.

a*(b*c)=(a*b)*c partamos considerando a=3^t b=3^m y c=3^n

1) a*(b*c)=a*(3^m.3^n) entonces considerando las reglas de la operacion b*c debería plantearse en función de sus exponentes de la siguiente manera:

m+n<4 -------> a*[3^(m+n)] ( 1 )
m+n>=4 -------> a*[3^(m+n-4)] ( 2 )

ahora quedan 2 operaciones más por hacer para cada alternativa entonces de nuevo un planteo análogo al anterior

( 1 )
m+n<4 -------> 3^t.3^(m+n)=3^(t+m+n) [1]
m+n>=4 -------> 3^t.3^(m+n)=3^(t+m+n-4) [2]
( 2 )
m+n<4 -------> 3^t.3^(m+n-4)=3^(t+m+n-4) [3]
m+n>=4 ------->3^t.3^(m+n-4)=3^(t+m+n-8) [4]

2) (a*b)*c=(3^t.3^m)*c

m+n<4 -------> [3^(t+m)]*c ( 1 )
m+n>=4 -------> [3^(t+m-4)]*c ( 2 )

( 1 )
m+n<4 -------> 3^(t+m).3^n=3^(t+m+n) [1]
m+n>=4 -------> 3^(t+m).3^n=3^(t+m+n-4) [2]
( 2 )
m+n<4 -------> 3^(t+m-4).3^n=3^(t+m+n-4) [3]
m+n>=4 -------> 3^(t+m-4).3^n=3^(t+m+n-8) [4]

[1]=[1] [2]=[2] [3]=[3] [4]=[4] del 1) con el 2) respectivamente
entonces concluimos comparando cada alternativa final, en este caso son 4 por cada lado. Efectivamente son iguales por lo que
se cumple la asociativa.

El segundo se los debo porque estoy con poco tiempo, en estos días me tomaré el tiempo para tipear el otro. Espero no haberme equivocado en el tipeo.
GRACIAS Pablo por tus respuestas.

Alguien me podria ayudar con este problema? :

Consideren el conjunto de los numeros naturales entre el 1 y el 200.
Se define alli la relacion: xRy si y sólo si "x e y empiezan con el mismo digito cuando se los escriben en base 5"
el punto "a" me pedia probar que era una relacion de equivalencia, eso ya lo hice, pero el "b" que es el que no me sale dice:
"Determinen las correspondientes clases de equivalencia y el conjunto cociente"

Espero su ayuda! gracias.