Hola! puntualmente lo que quiero saber es: cuando el espacio vectorial esta formado por "todos los vectores en R3", por ejemplo, se necesitan 3 vectores base (ni mas ni menos) para generarlo. Pero cuando el espacio esta formado solo por un conjunto de vectores en R3, por ejemplo en el caso de una matriz 3x2 que tiene 2 vectores fila en R3, puede que se necesiten menos de 3 vectores base para generarlo. Es así? o igual se necesitan 3 vectores?



El espacio vectorial de renglones esta formado por todas las combinaciones lineales de ellos dos, por lo que me lo van a generar, y si los dos son LI, los dos son base.

Lo que digo me parece lógico, solo quiero estar seguro de que es así.

No termino de entender tu duda... Cuando necesitás generar todo el espacio R3, tenés que tener una base con 3 vectores linealmente independientes. Si lo que quisieras generar es un plano en R3, tu base te debería quedar de la forma que vos le diste a esa matriz (con sólo dos vectores LI), y si lo que tenés es una recta, tu Base tiene sólo un vector LI

La cantidad de vectores en una base varía siempre, dependiendo del subespacio que estés formando, no es necesario que, como dijiste vos, siempre tengas 3 vectores cuando estás trabajando en R3.

No logro entender muy bien lo que planteás. Pero según entendí, en tu matriz decís que hay dos vectores de R3 (abc y def). Esos dos vectores son Base de tu SEV siempre y cuando los dos sean LI, pero estos dos vectores no generan R3, generan un SEV de R3.
Por otro lado los vectores se escriben en forma de columnas en una matriz, no en filas.

Espero haber servido de ayuda, saludos.

Para generar r2 necesitas 2 vecotres LI, los canonicos x ej. Para r3 3. No se si esa era tu duda

Gracias por las respuestas! ahora que lo pienso es una pregunta media pava jaja.

Ahora, me surgió otra duda con lo que dijo Aye: "Si lo que quisieras generar es un plano en R3, tu base te debería quedar de la forma que vos le diste a esa matriz (con sólo dos vectores LI)". Si tengo por ejemplo los vectores (2;0;3) y (0;1;2) que son LI, ¿también me generan un plano? ¿cómo demostrarlo?

Con el producto vectorial sacás la normal del plano (en este caso (-3;-4;2) es tu normal), luego agarrás el (2;0;3) y lo evaluás en tu plano, te va a quedar...

\[-3 . 2+0 .y+2.3+D=0 \]

De ahí sacás D, que en este caso es 0 y volvés a armar el plano

\[ \pi : -3x+2z=0 \]

Ah claro, me confundí por que me los imaginaba como puntos en el espacio y no como vectores en función de la base canónica.

Gracias de nuevo!