Buenas, agradezco cualquier ayuda con el siguiente ejercicio que no puedo encarar bien , dice:


La recta determinada por la intersección de las superficies de ecuaciones $$y^{2}=x^{2}-z^{2}$$ y $$z=x$$ es normal a la superficie de ecuacion z=f(x,y) en (1,0,1). Calcule aproximadamente f(0.98 , 0.01).

Si la recta esa es normal a la superficie z=f(x,y) entonces su vector director es normal al plano tangente de la superficie en ese punto. Con el plano aproximás f(0,98;0,01).

Gracias por responder, me imaginaba que venía por ese lado... El problema es que no sé por dónde empezar.

Primero tenés que hallar la recta intersección de las dos superficies. Por ejemplo, podés sacarlo por componentes planteando una parametrización $$x=t$$ , con lo que te quedará:

$$\left\lbrace\begin{matrix}x = t \\z=t \\y^2 = t^2 - t^2 = 0\end{array}\right.$$

Etc.

Claro, dsp sabés que el vector director de la recta que se forma con la intersección esa es paralela a la normal de la superficie en ese punto. Acordate que el gradiente de la superficie es normal a ella, entonces

Con esa normal, el vector director de la recta y sabiendo que el punto (1;0;1) pertenece a la superficie podés armar el plano tangente en ese puto.

Después reemplazas los valores en la ecuación del plano tangente y despejas z para ya que z=f(x;y) y ese va a ser un resultado aproximado de f(x;y) en ese punto.

Off-topic:

Kira, podés usar LaTeX para escribir fórmulas.

Ahhhh!! pero mirá que pajeroo! recién me doy cuenta que en "respuesta completa" está el editor de latex xD!

Yo estaba abriendo el editor en ventana separada y poniendo todo como imagen, jajajajajajjaja

Después lo probaré =D

Gracias a los dos


La verdad no era tan complicado, pero me mareaba solo entre las ecuaciones... Ya salió

Che me pueden dar una mano , no lo cacho a este me marea...

Yo obtengo la ecuacion de la recta X(t) = (t,0,t)

Mi vector director = (1,0,1) seria normal al plano tg de z=f(x,y)

Si yo planteo la ec. del plano tg y aporx lineal:
Z=f(x0,yo) + f'x(x-x0) + f'y(y-y0)

si el director de la recta es normal entonces mi normal del plano es mi director de la recta,no? es decir mi f'x=1 y mi f'y=0
pero si reemplazo en la formula o llego al resultado... se que lo estoy planteando mal...

alguna mano solidaria?? mil gracias!

¿El gradiente de f en (1,0) es (1,0,1) o (-1,0,-1)?

(22-09-2015 23:24)tutecabrero escribió:  porx lineal:
Z=f(x0,yo) + f'x(x-x0) + f'y(y-y0)

si el director de la recta es normal entonces mi normal del plano es mi director de la recta,no? es decir mi f'x=1 y mi f'y=0

no, seria f'x=-1 f'y=0

Cita:pero si reemplazo en la formula o llego al resultado... se que lo estoy planteando mal...

cuanto vale f(x0,y0)??

(23-09-2015 18:06)Saga escribió:  

(22-09-2015 23:24)tutecabrero escribió:  porx lineal:
Z=f(x0,yo) + f'x(x-x0) + f'y(y-y0)

si el director de la recta es normal entonces mi normal del plano es mi director de la recta,no? es decir mi f'x=1 y mi f'y=0

no, seria f'x=-1 f'y=0

Cita:pero si reemplazo en la formula o llego al resultado... se que lo estoy planteando mal...

cuanto vale f(x0,y0)??

Saga, como llegaste a que vale f'x=-1?

f(x0;y0) = 1

Gracias por la ayuda

las componentes del gradiente de f son

$$\nabla f=(a,b,c)$$

cuando definis el plano tangente queda

$$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)(a,b,c)=0$$

haciendo el producto escalar

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

y al despejar z se te cambian los signos

cuando usas couchy dini la definicion ya tiene el signo negativo en las derivadas

cuando usas el gradiente , ese signo "aparece" cuando despejas z

Genio! mi razonamiento era este:

Para armar el plano tangente necesito un punto y un vector normal al mismo.

Por el problema deducia que el director de la recta era el normal al plano tangente, por lo que ya tenia el vector: n=(1,0,1). siendo cada componente (f'x,f'y,f'z)
Planteaba la formula de plano tangente:

Zt=F(x0;y0) + f'x(X-x0) + f'y(y-y0)

No armaba la ecuacion desde el principio y me daba mal

Mil gracias!