f(x)= \[x^{3}+3x^{2}-2\]

hallar \[´{(F^{}-1)´}'(2)\]

existe alguna formula o algo para esto? nunca lo vi antes..

No falta ningun dato ahi ??? ademas te piden la derivada de f inversa evaluada en 2, o la funcion inversa derivada en 2??

F(F^(-1) (x) ) = x
Derivas ambos lados y magia

(26-09-2014 20:30)Saga escribió:  No falta ningun dato ahi ??? ademas te piden la derivada de f inversa evaluada en 2, o la funcion inversa derivada en 2??

si falto la tilde, es la derivada de la funcion inversa en 2

Antes tenes que definir si esa funcion f es biyectiva , se supone que si porque admite inversa, pero ¿lo es en todo su dominio? hay que acotar tanto dominio como imagen en caso que no lo sea ,

hay que analizar el crecimiento o decrecimiento, si es absolutamente creciente o decreciente no hay nada que acotar , caso contrario hay que hacerla biyectiva

Si es biyectiva se cumple la propiedad

\[f^{-1}(a)=b\Leftrightarrow a=f(b)\]

en nuestro caso

\[f^{-1}(2)=x\Leftrightarrow 2=f(x)=x^3+3x^2-2\]

resolviendo por ruffini o a ojimetro obtenes las raices de esa ecuacion x=1 y x=-2

por ende

\[f^{-1}(2)=1\quad \vee \quad f^{-1}(2)=-2\]

para analizar si nuestra f es creciente o decreciente la derivo y analizo que sucede en un entorno de los puntos criticos

\[f'(x)=3x^2+6x\]

donde los puntos criticos son

\[x=0\quad x=-2\]

por el criterio de la primera derivada (o segunda como mejor te parezca) en x=-2 presenta un maximo y en x=0 presenta un minimo, por ende la funcion no es biyectiva para todo su dominio

restringiendo tanto dominio como imagen para que exista la funcion inversa tenes que

\[f: (0,+\infty)\to (-2,+\infty) / f(x)=x^3+3x^2-2\]

entonces descartamos \[ f^{-1}(2)=-2\] ahora aplicando lo que te dijo Elmats , por definicion \[ f(f^{-1}(x))=x\] por regla de la cadena

\[ f'(f^{-1}(x))\cdot f'^{-1}(x)=1\]

despejando la derivada de la inversa

\[ f'^{-1}(x)=\dfrac{1}{ f'(f^{-1}(x))}\]

evaluando en el punto pedido

\[ f'^{-1}(2)=\dfrac{1}{ f'(f^{-1}(2))}=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{9}\]

En realidad con que la derivada de f`(2) sea distinta de cero es condicion suficiente para que exista una bola alrededor de 2 donde la función es biyectiva ya que es C1 la función.

(27-09-2014 03:20)Elmats escribió:  En realidad con que la derivada de f`(2) sea distinta de cero es condicion suficiente para que exista una bola alrededor de 2 donde la función es biyectiva ya que es C1 la función.

aunque ahora que lo veo bien Elmats ... por ejemplo si tomo la funcion \[y=x^2\] su derivada es distinta de 0 para todo \[x\neq 0\] pero sin acotar el dominio no veo como me garantiza que sea biyectiva, :/

Te acabo de decir, es biyectiva en la bola alrededor del punto. Es una forma sofisticada de acotar el dominio en funciones c1, aparte te ahorras laburo.

y aplicado al ejercicio como seria ?

F`(x) distinto de cero, entonces existe una bola donde la función tiene inversa (es biyectiva). Es el teorema de la función inversa . http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_...3n_inversa