Hola gente como andan? Bueno acá con un ejercicio que no me sale, y es el 17 de la guía de derivabilidad. Este dice:

17. Para tiempo t >= 0 dos puntos siguen trayectorias definidas por: X = (t + 1, g(t), t + t^2) y X = (2t, g'(t), 2t^2) respectivamente, determine g(t) sabiendo que en todo momento de la trayectoria son paralelas y que en t = 1, ambos puntos están en (2, 2, 2).

Bueno lo que hice fue lo siguiente:

Primero se que g(t) = g'(t) = 2 (para t = 1) y ademas se que si 2 trayectorias son //, entonces su producto vectorial deberá ser (0, 0, 0).

\[(0, 0, 0) = \begin{bmatrix}t-1 &g(t) &1+t^{2} \\ 2t & g'(t) &2t^{2} \end{bmatrix}\]

Resolviendo...

\[[g(t).2t^{2}-g'(t).(1+t^{2}),2t.(1+t^{2})-(t+1).2t^{2},(t+1).g'(t)-2t.g(t)]=(0, 0, 0)\]

Entonces digo que:

\[[g(t).2t^{2}-g'(t).(1+t^{2})] = 0\]

y

\[[(t+1).g'(t)-2t.g(t)]=0\]

Entonces:

\[g(t).2t^{2} = g'(t).(1+t^{2})\]

y

\[(t+1).g'(t)=2t.g(t)\]

Ahora desde acá hice dos cosas: La primera fue despejar g'(t) de una ecuación reemplazarla en la otra y así ver que da g(t), pero no funciono porque las g(t) terminan simplificándose y da cualquier cosa. La otra cosa que hice fue resolver la igualdad:

\[g(t).2t^{2} = g'(t).(1+t^{2})\]

Pero no termine llegando a nada. Quien me ayuda? (Saga todo me conduce a usted amigo jaja)

Eso es todo! Un saludos!

La verdad Gonsha no entiendo muy bien tu razonamiento .. disculpas, como yo lo planteria es de la siguiente manera , llamo f y g a las curvas dadas en forma vectorial ok... si f y g son paralelas entonces tambien se cumple que sus rectas tangentes tambien lo son

\[f\parallel g\Leftrightarrow f'\parallel g'\Rightarrow\exists\alpha \in R/ (1,g'(t),2t)=\alpha(2,g''(t),\boxed{4t})\]

resolviendo el sistema asociado

\[\\\alpha=\frac{1}{2}\\\\g'(t)=\frac{1}{2}g''(t)\\\\2=2\]

necesariamente para que el sistema sea SCD se tiene que cumplir la igualdad, para que eso pase entonces necesariamente

\[g'(t)=\frac{1}{2}g''(t)\]

ED a resolver .... tenes las condiciones iniciales de forma implicita dadas por el punto dado y las curvas f y g... solo tema de cuentas ahora....

(04-05-2013 21:20)Saga escribió:  La verdad Gonsha no entiendo muy bien tu razonamiento .. disculpas, como yo lo planteria es de la siguiente manera , llamo f y g a las curvas dadas en forma vectorial ok... si f y g son paralelas entonces tambien se cumple que sus rectas tangentes tambien lo son

\[f\parallel g\Leftrightarrow f'\parallel g'\Rightarrow\exists\alpha \in R/ (1,g'(t),2t)=\alpha(2,g''(t),2t)\]

resolviendo el sistema asociado

\[\\\alpha=\frac{1}{2}\\\\g'(t)=\frac{1}{2}g''(t)\\\\2=2\]

necesariamente para que el sistema sea SCD se tiene que cumplir la igualdad, para que eso pase entonces tenes se tiene que cumplir

\[g'(t)=\frac{1}{2}g''(t)\]

ED a resolver .... tenes las condiciones iniciales de forma implicita dadas por el punto dado y las curvas f y g... solo tema de cuentas ahora....

Yo lo pense siguiendo conceptos de algebra nomas... peeeeeeeerrooo recien me acorde que eso es solo valido para rectas paralelas XD (que en este caso podrian ser 2 rectas tangentes a las curvas).

Gracias saga .

No entiendo como deducis que g'(t) = 0.5g''(t). COmo sacaste eso?

(04-05-2013 21:26)Gonsha escribió:  No entiendo como deducis que g'(t) = 0.5g''(t). COmo sacaste eso?

y.... por al definicion de vectores paralelos ... el sistema asociado una vez que realices la igualdad de componentes es

\[\\\1=2\alpha\\\\g'(t)=\alpha g''(t)\\\\2t=4\alpha t\]

lo ves ahora. ??

edite un error en la derivada que tenia en mi primer respuesta ... perdon ahi lo recuadre

(04-05-2013 21:39)Saga escribió:  

(04-05-2013 21:26)Gonsha escribió:  No entiendo como deducis que g'(t) = 0.5g''(t). COmo sacaste eso?

y.... por al definicion de vectores paralelos ... el sistema asociado una vez que realices la igualdad de componentes es

\[\\\1=2\alpha\\\\g'(t)=\alpha g''(t)\\\\2t=4\alpha t\]

lo ves ahora. ??

edite un error en la derivada que tenia en mi primer respuesta ... perdon ahi lo recuadre

Si me habia dado cuenta de ese error de tipografia que te mandaste XD. Ahi entendi xD. Gracias che!