Alguien podria explicarme como se hace este ejecicio?


\[\int_{0}^{+\infty }\frac{5+cos^2x}{x^2+1}dx\]

Por el criterio de comparacion,

Sean

\[ f, g: (a,b)\to R / 0\leq f(x)\leq g(x) \quad \forall x\in (a,b)\]

si

\[\int_{a}^{b}g(x)dx\quad CV\Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)dx\quad CV\]

si

\[\int_{a}^{b}f(x)dx\quad DV\Rightarrow \int_{a}^{b} g(x)dx\quad DV\]

observa que

\[\underbrace{\frac{5+\cos^2x}{x^2+1}}_{f(x)}\leq \underbrace{\frac{6}{x^2+1}}_{g(x)}\quad \forall x\in[0,\infty)\]

entonces

\[\int_{0}^{\infty}\frac{5+\cos^2x}{x^2+1}dx\leq \underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{6}{x^2+1}dx}_{CV}\]

por el criterio de comparacion

\[\int_{0}^{\infty}\frac{5+\cos^2x}{x^2+1}dx\quad CV\]

Muchisimas gracias che