Hola que tal, tengo dificultades para resolver estos ejercicios de la guía de Análisis I.

TP2:

30) f)

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} ln (a^{x}-1) - ln (x) = ln L\]

En principio lo pensé así, pero no se como seguirlo.. hay alguna otra forma?

30) i)

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{sen 2x} \]

En este hago cambio de variable, considero t = (e^x) - 1 y de allí --> x= ln(t+1) .. reemplazo pero me pierdo más!

30) n)

\[\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{\frac{sen x}{x}}{1+ cos^{2}x} \]

y este me dejo perplejo...


Solo quiero saber qué puedo hacer para plantearlos.. ya que hay algo que no estoy viendo..
Gracias de todas formas!

en este th deberian estar resueltos

http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-apo...-4-5-6-7-8

y por aca algo sobre infinitesimos... por si te interesa... cuando tenes limites como los que preguntas son muy utiles

http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-an%...C3%A9simos

Si me fije, pero esos ejercicios no están resueltos. ahora leo sobre infinitésimos.. de todas formas he visto ejercicios así pero estos no sé como sacarlos.

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Acabo de sacar el i) de esa forma!, el n) no se puede porque es lim cuando x tiene a Inf. y el f) aplico pero nunca llego a la rta que es: ln a

(23-04-2013 19:39)Francomp escribió:  Hola que tal, tengo dificultades para resolver estos ejercicios de la guía de Análisis I.

TP2:

30) f)

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} ln (a^{x}-1) - ln (x) = ln L\]

En principio lo pensé así, pero no se como seguirlo.. hay alguna otra forma?

aplicando infinitesimos, observa que

\[a^x-1\approx x\ln a\Leftrightarrow x\to0\]

entonces

\[\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln a}{x}=\ln a\]

Cita:30) i)

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{sen 2x} \]

En este hago cambio de variable, considero t = (e^x) - 1 y de allí --> x= ln(t+1) .. reemplazo pero me pierdo más!

leí que lo pudiste sacar

Cita:30) n)

\[\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{\frac{sen x}{x}}{1+ cos^{2}x} \]

y este me dejo perplejo...

si acomodamos terminos un poco tenes aplicando las propiedades de los limites

\[\lim_{x\to \infty }\underbrace{\underbrace{\frac{1}{x}}_{\to 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{acotado}}_{0}\cdot\frac{\lim_{x\to \infty }1}{\lim_{x\to \infty }(1+\cos^2x)}\]

el

\[lim_{x\to \infty}(1+\cos ^2x)\]

esta acotado y va entre 1 y 2, por lo tanto

\[\underbrace{\frac{\lim_{x\to \infty }1}{\lim_{x\to \infty }(1+\cos^2x)}}_{constante}\]

luego

\[\lim_{x\to \infty }\dfrac{\dfrac{\sin x}{x}}{1+\cos^2x}=0\]


se entiende ???

Entendí! Muchas gracias, después tengo que investigar más sobre infinitésimos.. en el post que hiciste me sirvo para varios ejercicios pero en el f que me explicaste por aca, ni sabia que (a^x-1) era x. ln a . Nuevamente te agradezco! Vos infinitésimos donde lo viste? Yo estaba usando Calculo de Stewart y por ahora no lei nada de eso.. Saludos!

genial.... sobre infinitesimos me los dieron en la cursada... de hecho en el apunte que deje sobre los mismos aclaro "si bien no le dan mucha bolilla en la cursada" algunos profes nos les dan mucha importancia, pero son de gran ayuda en limites donde te dicen "no use l'hopital"

Disculpa Saga, estoy haciendo algo mal? Porque me quedo trabado...

\[\lim_{x\rightarrow a} \frac{cos x - cos a}{x - a}\]

Hago cambio de variable , t= x - a, quedándome que x = t+a

\[\lim_{x\rightarrow a} \frac{cos (t+a) - cos a}{t} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{cos t. cos a - sen t . sen a - cos a}{t}\]

Allí sen t / t = 1, quedándome:

\[\lim_{x\rightarrow a} \frac{cos t. cos a}{t} - \frac{sen a}{t} - \frac{cos a}{t}\]


y ahí me quedé... Probe con infinitésimos y no sale

(30-04-2013 19:32)Francomp escribió:  Disculpa Saga, estoy haciendo algo mal?

sep

Cita:\[\lim_{x\rightarrow a} \frac{cos x - cos a}{x - a}\]

Hago cambio de variable , t= x - a, quedándome que x = t+a

perfecto

Cita:\[\lim_{x\rightarrow a} \frac{cos (t+a) - cos a}{t} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{cos t. cos a - sen t . sen a - cos a}{t}\]

regular... como distribuiste el argumento del coseno esta bien, pero te olvidaste que con el cambio de variable que hiciste t tiende a 0, nó es x el limite ahora, lo entendes

Despues no se que hiciste... lo continuo desde donde corte tu mensaje ... si sacamos factor comun \[\cos a\] tenemos

\[\frac{\cos a(\cos t-1)-\sin t\sin a}{t}\]

que es lo mismo que decir

\[\frac{\cos a(\cos t-1)}{t}-\frac{\sin t\sin a}{t}\]

por propiedadad de limites

\[\lim_{t\to 0}\frac{\cos a(\cos t-1)}{t}-\lim_{t\to 0}\frac{\sin t\sin a}{t}\]

al primer limite lo multiplicamos y dividimos por

\[\cos t +1\]

quedando

\[\lim_{t\to 0}\frac{\cos a(\cos t-1)(\cos t+1)}{t(\cos t+1)}-\lim_{t\to 0}\frac{\sin t\sin a}{t}\]

haciendo cuentas tenes que

\[\lim_{t\to 0}\frac{-\cos a\sin^2t}{t(\cos t+1)}=\lim_{t\to 0}\frac{-\cos a}{\cos t+1}\cdot \sin t\frac{\sin t}{t}\]

\[\frac{-\cos a}{\cos t+1}\] tiende a una constante

\[\sin t\] tiende a 0

\[\frac{\sin t}{t}\] tiende a 1

entonces

\[\lim_{t\to 0}\frac{-\cos a\sin^2t}{t(\cos t+1)}=0\]

luego

\[-\lim_{t\to 0}\frac{\sin t\sin a}{t}=-\sin a\]

finalmente

\[\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos a}{x-a}=-\sin a\]

lo entendes ??