Ejercicio 15) Estudie si los siguientes subconjuntos son subespacios de R NXN
a_ S1 = {A \[A \euro \mathbb{R} \textsc{NXN} /A \] es diagonal}

Ejercicio 17) a_ Sean en V los subespacios S y T, halle una base y la dimension de S \[\bigcap T\]

S={(x1,x2,x3) E R3 / 2 x1 - x2 + x3=0}
T={(x1,x2,x3) E R3 / x1 + 2 x2 + x3=0}

Ayudaaaa

17.A)


S={(x1,x2,x3) E R3 / 2 x1 - x2 + x3=0}
T={(x1,x2,x3) E R3 / x1 + 2 x2 + x3=0}

Ya tenés los dos subespacios en forma ecuacional, sólo tenes que triangularlos..

\[\begin{matrix}2&-1&1\\1&2&1\end{matrix}\]
---------------
\[\begin{matrix}2 & -1 & 1\\0&5&1\end{matrix}\]
---------------
\[\begin{matrix}10 & 0 & 6\\0&-5&1\end{matrix}\] (dividimos la primer fila por 2 y queda..)

\[\begin{matrix}5 & 0 & 3\\0&-5&1\end{matrix}\]

Entonces:

\[5x_{1}= -3x_{3}\]
\[5x_{2}= x_{3}\]

\[x_{1}= -\frac{3}{5} \, x_{3}\]
\[x_{2}= \frac{1}{5} \, x_{3}\]

\[\begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix} = x_{3} \begin{pmatrix} -\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}\\ 1\end{pmatrix}\]


Y la dimensión, como tenés 3 incognitas (\[x_{1},x_{2},x_{3}\]) y dos ecuaciones.. Hago 3-2 = 1 entonces tenes dimensión 1.

Otra manera, geometricamente S interseccion con T corresponden a las ecuaciones implicitas de una recta, cuya dimension es 1 y una base sera el vector director que se forme del producto vectorial entre las normales de los planos