Gente estoy preparando el final de analisis 2 y estaba practicando con finales.
Y me trabe en un ejercicio que seguro es una boludez pero como nunca hice algo asi no se como se hace.

Tengo que calcular el área del trozo de un plano cuyos puntos estan en el primer octante.
La ecuacion del plano ya la tengo y es x + y +3z = 9
Ahi no se como seguir.

Es el ejercicio 4 del final del 02/08/2011

Listo era una boludez. Tantas cosas en la cabeza que se me olvida todo.

Si no me equivoco tenias q hacer la proyeccion del plano y dsp integrabas... creo, la verdad no me acuerdo bien

Solo tenes que aplicar la definicion de area de superficies y hacer las correspondientes cuentas, la definición nos dice que

\[A=\iint |g'_u\times g'_v|dudv\quad \times=\]producto vectorial

entonces , primero debemos definir la funcion g para poder aplicarla, dicha funcion la definimos parametrizando la superficie de la cual nos piden que calculemos su area, en este caso es un plano, despejo alguna de las variables en funcion de las otras dos, y defino la funcion g que es la parametrizacion de dicho plano, en este caso por comodidad elijo, despejar x, entonces

\[x=9-y-3z\]

defino la funcion g como

\[g:R^2\to R^3/g(y,z)=(9-y-3z,y,z)\]

haciendo el producto vectorial entre las parciales correspondientes, salvo error

\[A=\iint \sqrt{11}dydz\]

para los limites de integracion, hay que evaluar la funcion g en el primer octante o sea

\[9-y-3z> 0\quad y> 0\quad z> 0\]

despejando y de la primera obtenes

\[y<9-3z\]

por ende

\[0<y<9-3z\]

por transitividad la desigualdad se cumple si y solamente si

\[0<9-3z\]

de donde \[z<3\] de donde se deduce \[0<z<3\]

finalmente

\[A=\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-3z}\sqrt{11}dydz=\frac{27}{2}\sqrt{11}\]

pd: veo que solucionaste tu duda.... bueno dejo la respuesta por si a otro le sirve