Buenas, quería pedirles si alguien me puede dar una mano con el siguiente enunciado:
Dada la función de densidad
x si 0<=x<1
2-x si 1<=X<=2
0 en otro caso
Obtener la función de distribución.

Se que tengo que derivar la función de densidad para obtener la f de distribución, pero no logré darme cuenta de expresión derivar y entre que valores.

Muchas gracias.

Ojo, si tenés la densidad, para llegar a la distribución hay que integrar, no derivar!

Yo estoy con la misma duda, no se bien que integrar, sobre que intervalos y que hacer con la constante de integración.

Se integra intervarlo por intervalo, es decir: X queda x2/2 en el mismo intervalo, 2x -x2/2 en el mismo intervalo, C en otro caso.

Se agrega al principio de la funcion de distribucion que 0 si x<0

El tema es que en la respuesta de la guia, dice que para " 2-x si 1<=x<=2 " queda de asi: -\[x^{2}\]/2 + 2x - 1

Lo que no sé, es de donde sale ese "-1".

Cierto, yo tampoco lo entendi, hay un resuelto que esta en el foro que lo tiene hecho, aun asi no lo entiendo.

Hola!

La función de densidad es:

\[f(Xx) = \begin{cases}x & \text{ si } 0\leq x<1 \\ 2-x & \text{ si } 1\leq x\leq 2 \\ 0 & \text{ } en \ otro \ caso\end{cases}\]


La distribución queda:

\[f(Xx) = \begin{cases}0 & \text{ si } x< 0 \\ \int_{0}^{x}x.dx & \text{ si } 0\leq x<1 \\ F(1) + \int_{1}^{x}(2-x).dx & \text{ si } 1\leq x\leq 2 \\ 1 & \text{ } x\geq 2\end{cases}\]

Para el primer intervalo (entre 0 y 1):

\[F(X) = \int_{0}^{x}x.dx = \frac{1}{2}.x^{2}\]

Para el segundo intervalo:

\[F(X) = F(1) + \int_{1}^{x}(2-x).dx \]

Donde:

\[F(1) = \frac{1}{2}.(1)^{2} = \frac{1}{2}\]

Y la integral:

\[\int_{1}^{x}(2-x)dx = (2x-2)+(\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}) = 2x-2-\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}\]

Sumando todo:

\[F(X) = \frac{1}{2} + 2x-2-\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2} = -\frac{x^{2}}{2}+2x - 1\]


La trampa está en que, para que sea continua, al intervalo comprendido entre 1 y 2 hay que sumarle lo que habíamos acumulado en el intervalo anterior (es decir todo lo acumulado hasta 1). Por eso se le suma F(1)

Luego, para x mayores a 2, lo función distribución vale 1.

Muchísimas gracias!