Hola, bienvenido al foro!
En primer lugar estos ejercicios no son "de desigualdades". La desigualdad abarca a los siguientes símbolos matemáticos: ≥, >, <, y ≤, y es contraria a la igualdad ( = ), que corresponde a "esto es igual a esto". En tu caso se habla de
inecuaciones, ya que aparece una incógnita (generalmente la x) que hay que despejar para obtener su valor (o intervalo) donde se cumpla la desigualdad.
Por ejemplo, si tenemos
x - 2 > 0 (1 inecuación original)
podemos tratar la desigualdad como una igualdad para operar; así, si sumamos a ambos lados de la desigualdad 2 obtenemos
x > 2,
y por tanto el conjunto solución (llamado S) es S = (2, +∞). Observá que no es del estilo x = 3, x = -2, etc. ya que, como comenté antes, dependerá si es una ecuación o inecuación el resultado que obtengas.
Así podemos ver que si x = 10 entonces vamos a (1): 10 - 2 = 8 > 0, ya que la x pertenece al conjunto solución (8 ∈ (2, +∞), se lee "8 pertenece al conjunto (2, +∞)"). En caso contrario, por ejemplo si x = 1 entonces 1 - 2 = -1 > 0, y por tanto 1 ∉ (2, +∞), como es de esperar (se lee "1 no pertenece al conjunto (2, +∞)").
Pero hay casos donde no podemos operar igual que en una ecuación. Por ejemplo si tenemos
-x + 3 ≥ 0
restando ambos lados por -3,
-x ≥ -3
pasando el signo menos de la x
x ≥ -(-3)
y esto es incorrecto. Debe ser x ≤ 3. Por tanto el conjunto solución es S = (-∞, 3]. el ] en este intervalo significa que el 3 sí pertenece al conjunto solución (recordá que ≥ significa "mayor o igual"). Si x = 3 entonces -3 + 3 = 0 ≥ 0, y es verdadero ya que 0 = 0... desde 3 para abajo, porque si supera 3 ya no se cumple la desigualdad.
Si tenemos dos números cualesquiera a y b y realizamos su producto (o cociente, con la única condición de que el divisor no puede ser 0, ya que no se puede dividir por 0)
a · b ≥ 0
entonces a y b son positivos o negativos al mismo tiempo. ¿Tiene sentido no?
Ahora bien, si
a · b ≤ 0
ambos tienen signos opuestos.
Como a y b son cantidades desconocidas (pues sabemos que son números, pero no nos dicen cuáles) estamos en condiciones de hablar de inecuaciones. Y para resolver este tipo de inecuaciones (donde alguno de los factores debe ser positivo y el otro negativo, por ejemplo) no se habla de "puntos críticos" como vos señalás. Simplemente se aplican las definiciones que te mencioné unas líneas arriba.
Hablemos con más propiedad. Si tenemos la siguiente inecuación:
(x - 1)(2x + 3) > 0
aplicando la definición de número positivo entre dos factores (a · b > 0), podemos decimos que
(x - 1)(2x + 3) > 0 <=> (x - 1 > 0 ∧ 2x + 3 > 0) ⊻ (2x + 3 < 0 ∧ 2x + 3 < 0).
El <=> es un símbolo matemático llamado "bicondicional" y actúa como una "igualdad", ya que podemos ir de izquierda a derecha, y viceversa. Nos asegura que si escribimos x - 1 > 0 ⊻ 2x + 3 > 0 podemos llegar a decir (x - 1)(2x + 3) > 0, y viceversa.
El símbolo ⊻ se utiliza para expresiones donde si ambos resultados arrojan verdadero o falso (tienen el mismo valor de verdad) entonces el resultado final es falso. Un uso es el que propone el ejercicio; otro, que muy pocos saben, es cuando decimos a ≥ b (o ≤). Técnicamente se dice que a ≥ b <=> a > b ⊻ a = b, ya que si es igual Y mayor estamos en problemas... Nos asegura que nunca se darán ambas expresiones verdaderas o falsas al mismo tiempo.
El símbolo ∧ entre dos expresiones da verdadero cuando solamente ambas expresiones son verdaderas, y falso en caso contrario. Así 2x > 0 <=> 2 > 0 ∧ x > 0.
Luego vienen las operaciones entre conjuntos. Tranquilo, es más de lo mismo
.
El símbolo ∪ es la unión entre dos conjuntos, y básicamente se reduce a decir que es la disyunción (∨) entre sus elementos (aquéllos elementos donde aparezcan en un conjunto y en otro, sin repetir. ¿Fácil, no?).
El símbolo ∩ es la intersección entre dos conjuntos, equivalente a la conjunción (∧) entre los elementos de los dos conjuntos (aquéllos donde aparezcan sólo en ambos conjuntos sin repetir).
Volvamos a
(x - 1 > 0 ∧ 2x + 3 > 0) ⊻ (x - 1 < 0 ∧ 2x + 3 < 0).
------------1----------------------------2--------------
Resolvamos 1, pero en criollo:
x > 1 y 2x > -3
x > 1 y x > -3/2,
luego ¿dónde "comparten" los mismos valores? Pues a partir del 1 se cumple la desigualdad para ambas inecuaciones. Por tanto una solución parcial es el conjunto S1, donde S1 = (1, +∞).
Luego vamos a 2:
x < 1 y 2x < -3
x < 1 y x < -3/2,
luego ¿dónde "comparten" los mismos valores? Vemos que en el intervalo abierto (-∞, -3/2) (para ver esto podés hacer el grafiquito de los intervalos, como hacen en la guía). Luego el conjunto solución S2 es S2 = (-∞, -3/2).
Ahora nos queda hacer
S1 ∪ S2
(1, +∞) ∪ (-∞, -3/2)
Vamos a tomar todos los valores sin repetir. En los dos conjuntos no se repiten valores, por lo que el conjunto solución es S = (1, +∞) ∪ (-∞, -3/2). Notar que en el conjunto de los números reales R donde estamos trabajamos va desde -∞ a +∞, por lo que ordenando S obtenemos, ahora sí,
S = (-∞, -3/2) ∪ (1, +∞).
Para verificar podés darle valores a la x y ver si pertenece o no al conjunto solución.
Como es tu primer mensaje y no funciona el código LaTeX
, el cual nos permite escribir mejor la matemática, no pasa nada; pero de ahora en adelante tratá de escribir tus preguntas que involucren matemática en LaTeX.
Saludos
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manoooooh recibio 3 Gracias por este post
