que tal? tengo una duda

AFIRMACIONES

Teorema #1

si f es diferenciable en (Xo,Yo) ===> Tiene una derivada máxima, una derivada mínima, dos derivadas nulas

Teorema #2 (f es c1 en (Xo,Yo))

si f es continua (Xo,Yo) y a demas existen y son continuas f´x(Xo,Yo) y f´y(Xo,Yo) ===> f es diferenciable en (Xo,Yo)


CONSULTA

Dada f continua (Xo,Yo)

y ademas que

f´((Xo,Yo), (a,b)) = 0 para todo (a,b)


¿Es diferenciable f en (Xo,Yo)?

como todas las derivadas son nulas
NO TIENE una derivada máxima, una derivada mínima, dos derivadas nulas ===> NO ES si f es diferenciable en (Xo,Yo)

pero tambien pasa que

f´x(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (1,0)) = 0

f´y(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (0,1)) = 0

son funciones continuas
f´x(Xo,Yo) = 0

f´y(Xo,Yo) = 0

si f es continua (Xo,Yo) y a demas existen y son continuas f´x(Xo,Yo) y f´y(Xo,Yo) ===> f es diferenciable en (Xo,Yo)


SE CONTRADICEN, NO ENTIENDO

No se contradicen, en este momento estoy en clase jeje, pro partí de la premisa de que si es continua en el punto y existe y es continua las derivadas parciales => es diferenciable pro la reciproca no es valida . esto es axiomatixo . ósea la reciproca puede ser valida en algunos ejemplos pro en otros no, osea la reciproca es falsa. Esto me lo explicaron la primer clase de diferenciabilidad

(29-09-2015 11:53)diego2708 escribió:  No se contradicen, en este momento estoy en clase jeje, pro partí de la premisa de que si es continua en el punto y existe y es continua las derivadas parciales => es diferenciable pro la reciproca no es valida . esto es axiomatixo . ósea la reciproca puede ser valida en algunos ejemplos pro en otros no, osea la reciproca es falsa. Esto me lo explicaron la primer clase de diferenciabilidad

f´x(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (1,0)) = 0

f´y(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (0,1)) = 0

son funciones continuas. SERIA CORRECTO ESTO?
f´x(Xo,Yo) = 0

f´y(Xo,Yo) = 0

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(29-09-2015 11:53)diego2708 escribió:  No se contradicen, en este momento estoy en clase jeje, pro partí de la premisa de que si es continua en el punto y existe y es continua las derivadas parciales => es diferenciable pro la reciproca no es valida . esto es axiomatixo . ósea la reciproca puede ser valida en algunos ejemplos pro en otros no, osea la reciproca es falsa. Esto me lo explicaron la primer clase de diferenciabilidad

Con todo respeto, podría pedirte la respuesta del caso particular que planteo, sin irse de tema

No estoy consultando la si es valida la reciproca (a demás puse "===>" y no "<===>")

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(29-09-2015 11:53)diego2708 escribió:  No se contradicen, en este momento estoy en clase jeje, pro partí de la premisa de que si es continua en el punto y existe y es continua las derivadas parciales => es diferenciable pro la reciproca no es valida . esto es axiomatixo . ósea la reciproca puede ser valida en algunos ejemplos pro en otros no, osea la reciproca es falsa. Esto me lo explicaron la primer clase de diferenciabilidad

a demas

P ==> Q

Q ==> P es falso!

pero si se puede

NOT Q ==> NOT P

es por eso que digo NOT(1 max, min y 2 nulas) ==> NOT(Diferenciable)

Vuelvo a escribir el mensaje, agregando algunos detalles mas que por ahí se entiende mejor..

Que tal, como andan? tengo una duda

AFIRMACIONES

Teorema #1

si f es diferenciable en (Xo,Yo) ===> Tiene una derivada máxima, una derivada mínima, dos derivadas nulas

Teorema #2 (f es c1 en (Xo,Yo))

si f es continua (Xo,Yo) y a demas existen y son continuas f´x(Xo,Yo) y f´y(Xo,Yo) ===> f es diferenciable en (Xo,Yo)

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CONSULTA

Dada f continua (Xo,Yo)

y ademas que

f´((Xo,Yo), (a,b)) = 0 para todo (a,b)


¿Es diferenciable f en (Xo,Yo)?

Puedo negar el Teorema #1 y afirmar la inversa
Como todas las derivadas son nulas, NO TIENE una derivada máxima, una derivada mínima, dos derivadas nulas ===> f NO ES diferenciable en (Xo,Yo)

Pero también pasa que como f´((Xo,Yo), (a,b)) = 0 para todo (a,b)

f´x(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (1,0)) = 0

f´y(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (0,1)) = 0

y SI NO ME EQUIVOCO f´x(Xo,Yo) = 0, f´y(Xo,Yo) = 0 son funciones continuas en (Xo,Yo)

Entonces por el Teorema #2, si f es continua (Xo,Yo) y a demás existen y son continuas f´x(Xo,Yo) y f´y(Xo,Yo) ===> f es diferenciable en (Xo,Yo)


SE CONTRADICEN, NO ENTIENDO. Por un lado uno me dice que es NO diferenciable y por el otro que si..

Desde ya mil gracias

Fijate el ejercicio 7 de la guía de diferenciabilidad, f es contínua en el punto y existen y son contínuas las derivadas parciales en dicho punto, pero no es diferenciable, se demuestra por definición.

De dónde sacas que f'x y f'y son continuas? dice así el ejercicio? te define cual sería la función f(x,y) ?

Saludos.

(30-09-2015 01:12)Kaiko escribió:  De dónde sacas que f'x y f'y son continuas? dice así el ejercicio? te define cual sería la función f(x,y) ?

Saludos.

f´((Xo,Yo), (a,b)) = 0 para todo (a,b)

entonces

f´x(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (1,0)) = 0

f´y(Xo,Yo) = f´((Xo,Yo), (0,1)) = 0

no?


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f´x(Xo,Yo) = 0

f´y(Xo,Yo) = 0

son continuas no ?

Que exista la derivada en un punto (x,y) no implica que la misma sea continua en ese punto. Por ejemplo:
\[f(x;y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}\]
\[f'_x(x;y)=\frac{1}{\sqrt[3]{(x^{3}+y^{3})^2}}\]

La funcion f'x no es continua en x=(0,0) pero si existe su derivada y vale 0.