Que tal, dada la siguiente función f analizar la diferenciabilidad en (0,0)

f(x,y) =

{
\[ x^{2} + y \]
si x.y = 0

\[\frac{x^{3}}{x^{2}+3y^{2}} \]
si x.y <> 0
}

DERIVADAS DIRECCIONALES
cuando a <> 0 y b <> 0
f´((0,0),(a,b)) =

\[\frac{a^{3}}{^{a^{2}+3b^{2}}}\]

cuando a = 0 o b = 0
f´((0,0),(a,b)) = b

es diferenciable?

por un lado f es continua en (0,0), dado que podes descomponerla en infenitesimo por acotado

existe y son continuas en (0,0)
f´x = 2x
f´y = 1

f´x(0,0) = 0 (ojo aca da 0, entonces existe o no existe?)
f´y(0,0) = 1

entoces f es c1, entonces f es diferenciable


PERO POR OTRO LADO SI HACEMOS

\[f´((0,0),(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})) =\]

aplicando la formula obtenida

\[\frac{a^{3}}{^{a^{2}+3b^{2}}}\]

nos da = \[\frac{1}{4\sqrt{2}}\]

y si es diferenciable:

\[f´((0,0),(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})) =\]

=

\[Gradientef(0,0) . (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\]

=

\[(0,1) . (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{^{\sqrt{2}}}\]


DA DISTINTO!! COMO ES POSIBLE SI ES DIFERENCIABLE

¿Por qué decidís que es diferenciable? Lo más seguro en estos casos es, en mi opinión, usar la definición de diferenciabilidad:
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0) \cdot x-f_y(0,0) \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}} \]
Acá tenés que hacer una diferenciación: que \[ (x,y) \] tienda a \[ (0,0) \] por las dos direcciones de los ejes o por cualquier otra. Para las últimas, la rama de la función que tenés que usar es la segunda.
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ \frac{x^3}{x^2+3y^2}-0-0 \cdot x - 1 \cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3-x^2y-3y^3}{(x^2+3y^3)\sqrt{x^2+y^2}} \]
Se puede probar que el último límite no existe con rectas de la forma \[ y=kx \], por lo tanto, la función no es diferenciable.

sin usar la definición de diferenciabiliadad, aplicando los teoremas como hice yo, como seria?

a demás hay algo mal en lo que dije?

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(30-09-2015 14:49)Rampa escribió:  ¿Por qué decidís que es diferenciable?

por un lado f es continua en (0,0), dado que podes descomponerla en infenitesimo por acotado

existe y son continuas en (0,0)
f´x = 2x
f´y = 1

f´x(0,0) = 0 (ojo aca da 0, entonces existe o no existe?)
f´y(0,0) = 1

entoces f es c1, entonces f es diferenciable

Para mi es diferenciable, si la funcion es clase C1 es diferenciable.

Tu error a mi parecer es que en el punto x=(0,0) tenes que tomar la rama donde la funcion es:
\[x^{2} + y\]

Entonces:

\[f'_x=2x \]

\[f'_x (0,0))=0\]

\[f'_y = 1\]

\[f((0;0)(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Recorda la parte en que si x=0 o y=0 entonces la derivada direccional es igual a b. en este caso cumple.

Si tomas el punto (1;1) vas a tener que utilizar la otra rama de la funcion y tambien cumpliria con la derivada direccional \[\frac{a^3}{a^2 + 3b^2}\]

(30-09-2015 16:33)tutecabrero escribió:  Para mi es diferenciable, si la funcion es clase C1 es diferenciable.

Tu error a mi parecer es que en el punto x=(0,0) tenes que tomar la rama donde la funcion es:
\[x^{2} + y\]

\[f((0;0)(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Si tomas el punto (1;1) vas a tener que utilizar la otra rama de la funcion y tambien cumpliria con la derivada direccional \[\frac{a^3}{a^2 + 3b^2}\]

me parece que te estas equivocando , recorda que es una derivada con una direccion distinta a los ejes coordenados \[\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\]

(30-09-2015 15:13)Charly_18 escribió:  sin usar la definición de diferenciabiliadad, aplicando los teoremas como hice yo, como seria?

a demás hay algo mal en lo que dije?

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(30-09-2015 14:49)Rampa escribió:  ¿Por qué decidís que es diferenciable?

por un lado f es continua en (0,0), dado que podes descomponerla en infenitesimo por acotado

existe y son continuas en (0,0)
f´x = 2x
f´y = 1

f´x(0,0) = 0 (ojo aca da 0, entonces existe o no existe?)
f´y(0,0) = 1

entoces f es c1, entonces f es diferenciable

No había leído eso. Creo que el problema está acá. Para poder afirmar que la función es C1, tenés que probar que ambas derivadas parciales existen en todo el entorno del punto y que además son continuas. Esto es engorroso con una función partida.
Analizando sólo \[ f_x \]:

• \[ f_x (x,y)=2x \] es válida, en una primera instancia, sólo para los puntos del eje \[ x \] donde la rama de la función es la misma.
• Para los puntos del eje \[ y \], tenés que analizar el límite \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,0)-f(x,0)} h \], usando a la segunda rama de la función para el término \[ f(x+h,0) \] y la primera para \[ f(x,0) \]. Esto da también \[ f_x (x,y)=2x \].
• Para cualquier otro punto fuera de los ejes, la rama de la función es la segunda, podés derivar usando las reglas: \[ f_x (x,y) = \frac{x^4+9x^2y^2}{(x^2+3y^2)^2} \].
  

Ahora tenés que probar que \[ f_x \] es continua en el \[ (0,0) \]. Si te acercás por los ejes, el límite da 0. Pero si la dirección es cualquier otra, el límite es \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4+9x^2y^2}{(x^2+3y^2)^2} \] y este no existe, probando con rectas que pasan por el origen.

Si te acercas por (0,y) da cero pero si te acercas por (x,0) da 1 con eso ya tenés que no es continua creo.

Saludos

F es continua ya que por un tramo es por suma de funciones continuas y por el otro tramo es infinitesimo por acotado

F es derivable por como calculaste al principio: F'x valuada en el punto da 0 y es correcto. Y F'y da 1 en el pto.

Y ahora tu duda, que f sea continua y derivable, no significa que sea diferenciable.
El hecho que sea la F continua y derivable te permite aplicar la definición de diferenciablidad.

\[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(a+h,b+k)- f(a,b)-f_x(a,b) \cdot h-f_y(a,b) \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} =0 \]

Verifica si el lim es igual a 0,
Si es cumple y es diferenciable.
Si no cumple la función no es diferenciable.