Que tal?

Estoy con dos ejercicios de parcial que no se como resolverlos.

Ejercicio 1:

Se sabe que f es continua en x=-2 y que g(x)=|x+2|.f(x) es derivable en x=-2 Entonces f(-2)=5

Hay que decir si es verdadero o falso. Estuve plantiando cosas pero no llego a cerrar la idea.

Ejercicio 2:

Sea F biyectiva y derivable, con inversa derivable de manera que PARA TODO x que pertenece a dm(f) se verifica:
\[F'(X)=(F(x))^2-3F(x)+3\]

Calcular la derivada de la función g en el punto x=4;donde g esta definida así:
\[G(X)=F^{-1}(\sqrt{2x-4})\]

Desde ya Muchas Gracias

Saludos[/quote][/spoiler]

Se sabe que f es continua en x=-2 y que g(x)=|x+2|.f(x) es derivable en x=-2 Entonces f(-2)=5


copiaste mal el enunciado para mi.

si te dice que es continua en x= -2 no es condicion suficiente para decir que es derivable.

por ej, g(-2) no es derivable en ese punto. seguro el ejercicio pide la composicion de f(g(x)), que por propiedad de derivada la derivada de fog es f(x)*g'(x), como g'(-2) no existe, en la composicion tampoco.

(24-05-2013 20:55)NaiaraAcosta escribió:  Ejercicio 2:

Sea F biyectiva y derivable, con inversa derivable de manera que PARA TODO x que pertenece a dm(f) se verifica:
\[F'(X)=(F(x))^2-3F(x)+3\]

Calcular la derivada de la función g en el punto x=4;donde g esta definida así:
\[G(X)=F^{-1}(\sqrt{2x-4})\]

el otro te hace pensar, esos ejercicios son los peores

si la derivada de
\[ f(x) = (F(x))^2-3F(x)+3\]

y por propiedades sabes que

\[(f(x)^-^1)' * f(x) = \frac{1}{f'(x)}\]

fijate si con eso podes avanzar.

El primero es falso....pero la verdad no entendi bien lo que quiso decir maik... tenes por hipotesis que

\[f\in C^0\Leftrightarrow \lim_{x\to-2}f(x)=f(-2)\]

el enunciado afirma que g(x) es derivable en x=-2 entonces por definicion

\[g'(x)=\lim_{x\to -2}\frac{g(x)-\underbrace{g(-2)}_{=0}}{x+2}=\lim_{x\to -2}\frac{|x+2|f(x)}{x+2}\]

por propiedad de valor absoluto

\[\lim_{x\to -2^+}\frac{(x+2)f(x)}{x+2}=\lim_{x\to -2^+}f(x)=\mbox {por hipotesis}=f(-2)\]

\[\lim_{x\to -2^-}\frac{-(x+2)f(x)}{x+2}=-\lim_{x\to -2^-}f(x)=\mbox {por hipotesis}=-f(-2)\]

como g es derivable entonces se cumple que

\[\lim_{x\to-2^-}g(x)=\lim_{x\to-2^+}g(x)\]

entonces

\[f(-2)=-f(-2)\Leftrightarrow f(-2)+f(-2)=0\Leftrightarrow 2f(-2)=0\to \boxed{f(-2)=0}\]

por lo tanto la afirmacion es falsa

el otro banca que lo pienso

Para la segunda,

\[g(x)=f^{-1}(\sqrt{2x-4})\]

observa que puedo definir g como una composicion de funciones

\[g(x)=f^{-1}(h(x))\]

por regla de la cadena, siendo que la inversa de f es derivable por hipotesis, y h(x) es derivable en su dominio entonces:

\[g'(x)=f'^{-1}(h(x))\cdot h'(x)\]

nos piden la derivada de g, cuando x=4 entonces :

\[g'(4)=f'^{-1}(h(4))\cdot h'(4)\Leftrightarrow g'(4)=f'^{-1}(2)\cdot h'(4) \]

necesitamos el valor de la derivada de la inversa cuando x=2, utilizando la definicion de composicion de una funcion con su inversa

\[f(f'^{-1}(x))=x\]

por regla de la cadena

\[f'(f^{-1}(x))\cdot f'^{-1}(x)=1\]

despejando la derivada de la inversa obtenes

\[f'^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

luego

\[f'^{-1}(2)=\frac{1}{f'(f^{-1}(2))}\]

por hipotesis

\[f'(x)=(f(x))^2-3f(x)+3\]

hacemos la composicion

\[f'(f^{-1}(2))=(f(f^{-1}(2))^2-3f(f^{-1}(2))+3\]

como sabes una funcion compuesta con su inversa nos da la identidad entonces

\[f'(f^{-1}(2))=2^2-3\cdot 2+3=1\]

finalmente

\[\boxed{g'(4)=\underbrace{f'^{-1}(2)}_{=1}\cdot \underbrace{h'(4)}_{=\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}}\]

revisa las cuentas por las dudas

me olvide de preguntar... de que profesor es este parcial ?

Se sabe que f es continua en x=-2 y que g(x)=|x+2|.f(x) es derivable en x=-2 Entonces f(-2)=5


yo leo que

g(x)=|x+2| . (PUNTO) f(x) es derivable en x=-2.

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XD

esa composicion de la inversa y la relacion con la identidad no la tenia. bien hecho saga, lo hiciste de nuevo (?)

(25-05-2013 14:04)Maik escribió:  Se sabe que f es continua en x=-2 y que g(x)=|x+2|.f(x) es derivable en x=-2 Entonces f(-2)=5

yo leo que

g(x)=|x+2| . (PUNTO) f(x) es derivable en x=-2.

Si fuese asi, entonces estarias obviando la hipotesis de continuidad que te da el enunciado, y no tendria mucho sentido la pregunta f(-2)=5 ?

Cita:esa composicion de la inversa y la relacion con la identidad no la tenia. bien hecho saga, lo hiciste de nuevo (?)

jajajaj solo teoria maik, si no lo sabias ahora ya lo sabes

Graaaaaaaaaaacias MAIK Y SAGA,

Te pasaste saga con la explicación, hiper claro

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Los dos últimos ejercicios que tengo dudas (los ejercicios son de Milan Esther):

Ejercicio 1
Dada la función. No se como hacer la función por partes con el programita:

\[ G(x) = \frac{7x-sen(ax)}{4}\] si \[ xeq 0\]
\[ G(x) = 4 \] si \[x=0 \]

Hallar 'a' que pertenece a Reales de manera que la función g(x) resulte continua en X=0.

Claramente aca tengo que lograr que la parte que es continua en \[ xeq 0\] el lim de x que tiende a 0 sea = 4. Pero no me salio. No se si no estoy viendo algo que podría haber hecho con el seno.

Ejercicio 2

Sea f(x) decreciente y negativa para todo x que pertenece a (a,b). ¿Como debe ser la concavidad de f(x) para que h(x) resulte concava hacia abajo (suponga que existen todas la derivadas de f(x).

\[h(x)=\sqrt[3]{(f(x))^2}\]

En este lo que hice fue intentar que la derivada segunda de h(x) de menor a 0 asi es concava hacia abajo. Y asi medio por arriba me dio que f(x) tenia que ser concava hacia arriva pero no se si invente, porque tuve que suponer que varias eran positivas o negativas. Capaz el procedimiento no es el correcto.


Desde ya Muchas Gracias

Saludos

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No salio bien lo de G(x) la primera funcion que empieza 7x-sen(ax).... tiene que ser distinta de 0.

(25-05-2013 17:10)NaiaraAcosta escribió:  Los dos últimos ejercicios que tengo dudas (los ejercicios son de Milan Esther):

Ejercicio 1
Dada la función. No se como hacer la función por partes con el programita:

\[ G(x) = \frac{7x-sen(ax)}{4}\] si \[ xeq 0\]
\[ G(x) = 4 \] si \[x=0 \]

Hallar 'a' que pertenece a Reales de manera que la función g(x) resulte continua en X=0.

si esta bien el enunciado, no hay valores de a que cumplan la condicion

Cita:Ejercicio 2

Sea f(x) decreciente y negativa para todo x que pertenece a (a,b). ¿Como debe ser la concavidad de f(x) para que h(x) resulte concava hacia abajo (suponga que existen todas la derivadas de f(x).

\[h(x)=\sqrt[3]{(f(x))^2}\]

En este lo que hice fue intentar que la derivada segunda de h(x) de menor a 0 asi es concava hacia abajo. Y asi medio por arriba me dio que f(x) tenia que ser concava hacia arriva pero no se si invente, porque tuve que suponer que varias eran positivas o negativas. Capaz el procedimiento no es el correcto.

esta bien.... la concavidad de f debe ser positiva, si subis lo que hiciste ....

Ejercicio 1

Cita:si esta bien el enunciado, no hay valores de a que cumplan la condicion

Realmente jamas me fije que quedo cualquier cosa el ejercicio que habia copiado:

Ahí va bien:

\[G(x)=\tfrac{7x -sen(ax)}{5x} \] Si \[x\neq 0\]
\[G(x)= 4\] si \[x=0\]

Ejercicio 2

Hice lo siguiente:

Planteo que h''(x)<0. Entonces saco h'(x):
\[h'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{f(x)^2}.2f(x).f'\]

Luego saco h''(x):
\[h'(x)=\frac{3}{4}\sqrt{f(x)^2}.2f(x).f' + \frac{3}{4}\sqrt{f(x)^2}.2f'(x).f'+\frac{3}{4}\sqrt{f(x)^2}.2f(x).f''\]

primer termino: 1º factor >0 2º factor <0 3º factor <0 Entonces el termino es >0
segundo termino: 1º factor >0 2º factor <0 3º factor <0 Entonces el termino es >0
tercer termino: 1º factor >0 2º factor <0 3º es el de f'' y tengo que definir el signo para mi tiene que ser positiva asi el termino es <0.

Igualmente aunque el termino sea menor no se si puedo decir que esa suma va a hacer < 0.

Gracias

entonces con la correccion hecha tenes que

g(0)=4 entonces

\[\lim_{x\to 0}\frac{7x-\sin(ax)}{5x}\]

cumple las hipotesis del teorema de l'hopital, entonces

\[\lim_{x\to 0}\frac{7-a\cos(ax)}{5}=..............\frac{7-a}{5}=4\to \boxed{a=-13}\]

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me marie con tus derivadas y ahora que revise mis cuentas me comi un signo, por hipotesis tenes que

\[H: f(x)<0\quad f'(x)<0\]

\[T: h''(x)<0\]

derivando dos veces h por regla de la cadena y despues del cociente, acomodando terminos, simplificando y demas

\[h''(x)=\frac{2(3f(x)f''(x)-(f'(x))^2)}{9(f(x)^2)^{\frac{2}{3}}}\]

la tesis nos dice que

\[h''(x)=\frac{3f(x)f''(x)-(f'(x))^2}{(f(x)^2)^{\frac{2}{3}}}<0\]

por hipotesis

\[h''(x)=\frac{3f(x)f''(x)-(f'(x))^2}{\underbrace{(f(x)^2}_{>0\quad\forall x})^{\frac{2}{3}}}<0\]

necesariamente para que se cumpla la desigualdad

\[3f(x)f''(x)-(f'(x))^2<0\Leftrightarrow 3f(x)f''(x)=(f'(x))^2\to f''(x)=\frac{(f'(x))^2}{3f(x)}\]

por hipotesis

\[ f''(x)=\frac{\underbrace{(f'(x))^2}_{>0}}{3\underbrace{f(x)}_{<0}}\rightarrow \boxed{f''(x)<0}\]

por lo tanto la convavidad de f debe ser negativa para que la concavidad de h sea negativa

Gracias Genio!!!