Buenas a todos,
Alguno me podría ayudar a resolver este ejercicio de Volumen?

E) Calcule el volumen del cuerpo definido por \[2x^{2}+2y^{2}+z \leq 3 \] ; \[z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\] ; \[y\geq x\]

Yo lo plantee con cilindricas pero me parece que me complique demasiado porque llego a una integral horrible:
\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{r}^{\sqrt{3-2r^{2}}} r dzdrd\Theta \]

Esta bien esto asi? Hay alguna manera mas facil de resolver esto?

te parece horrible :\ cuando integras en z queda z y por barrow tenes que resolver

\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\sqrt{3}}r \sqrt{3-2r^2}-r^2drd\Theta \]

por linealidad de la integral , cuando integras en r, la primera sale por una sustitucion

\[u^2=3-2r^2\to 2u du=-4rdr\]

o sino te fijas en tablas ,la segunda es una polinomica sencilla de resolver, igual visto asi tenes mal el limite de integracion en theta , en un rato lo veo mas tranka pero no me cierra que vaya entre 0 y 2pi dado la restricion y>=x

(26-06-2016 15:14)Saga escribió:  te parece horrible :\ cuando integras en z queda z y por barrow tenes que resolver

\[\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\sqrt{3}}r \sqrt{3-2r^2}-r^2drd\Theta \]

por linealidad de la integral , cuando integras en r, la primera sale por una sustitucion

\[u^2=3-2r^2\to 2u du=-4rdr\]

o sino te fijas en tablas ,la segunda es una polinomica sencilla de resolver, igual visto asi tenes mal el limite de integracion en theta , en un rato lo veo mas tranka pero no me cierra que vaya entre 0 y 2pi dado la restricion y>=x

Gracias Saga, por casualidad pudiste ver los limites de integración? La restricción de y>=x significa algo para el angulo?

Sip, si proyectas todas las ecuaciones sobre el plano xy z=0 de la primera te queda una circunferencia , de la segunda un punto y de la tercera una recta , dadas las desigualdades definidas , el angulo no esta recorriendo toda la circunferencia (de 0 a 2pi) o sea solo barre el area definida de 45 grados hasta 225 grados , lo podes ver haciendo el dibujo de la situacion , lo entendes ??

Por eso no me cerraba que barrieras toda el area de la circunferncia teniendo la restriccion de la recta