Hola, estaba practicando limites y me econtre con una indeterminacion de la fomra infinito - infinito y la quise resolver sin usar L´hopital y no pude si alguien me puede dar una mano estare muy agradecido

\[\lim \frac{1}{\sin x }-\frac{1}{x}\]

cuando x tiende a 0

desde ya muchas gracias

Hola, mister769 ! Como estas?

Y si haces?:

\[\lim_{x->0} \frac{\left ( \chi - Sen \chi \right)}{ \left ( Sen \chi\right )\chi }\]
\[\lim_{x->0} \frac{ \chi }{ Sen \chi } - \lim_{x->0} \frac{Sen \chi }{\chi }\]
\[\lim_{x->0} \frac{ \chi / \chi}{ (Sen \chi) / \chi} - \lim_{x->0} \frac{Sen \chi }{\chi }\]
\[\lim_{x->0} \frac{ 1}{ (Sen \chi) / \chi} - \lim_{x->0} \frac{Sen \chi }{\chi }\]

Entonces, el primer termino tiende a infinito y el otro a cero y da el limite total: Infinito.

Saludos!

holautn , ambos términos tienden a uno. Si haces el limite de X tendiendo a cero , de seno sobre X o al reves, obtenes 1

Gracias por responder a los dos, Holautn creo que hay un error al separar la fraccion como lo hiciste para calcular los limites, si sumas solamente las fracciones no resulta igual a la original

\[\frac{x}{sen(x)}-\frac{sen(x)}{x} = \frac{x^{2}-sen(x)^{2}}{xsen(x)}\]x]

yo habia probado llegar a algo parecido multiplicando numerador y denominador por \[x+sen(x)\]
pero no llegaba a nada, el resultado es 0 pero todavia no pude sacarlo. Si me equivoque al interpretar lo que hiciste te pido me aclares donde me estoy equivocando y una vez mas gracias!

Hola!

La re flasheé.

Entonces, la idea es que buscar separadamente o en una misma fracción las ya conocidas que dan 1 (!!!).
Lim x->0 (sen x) / x (ó su inversa) = 1.

Si partís de \[\lim_{x->0} \frac{\left ( \chi - Sen \chi \right)}{ \left ( Sen \chi\right )\chi }\]
Y luego, multiplicas arriba y abajo por 1/x. No va?

Arriva va bien si multiplicas por 1/x pero abajo tenes la x y se cansela con la 1/x y queda sen(x) solamente con lo que no te sirve al menos en ese punto el viejo truco de del 1/x. Pero creo que por ahi debe ser el camino, igual gracias por responder

lo que yo haría es tomar factor común del numerador "X" y del denominador tmb. esto es legal hacer ya que la función nunca va a valer 0, solo va a tender a ella.

[1-sen(x)/x] / sen(x).... tomando limites te da [1/sen(x)][1-sen(x)/x], el primer factor mientras x!=2npi con n pertenecientes a los naturales, va a oscilar en un rango de valores (función acotada). el otro termino siempre va a tender a 0 (infinitesimo). por lo tanto una función en los cuales oscila en un rango acotado por un infinitesimo es un infinitesimo, por lo tanto es 0.

Gracias por responder, el problmea para aplicar la propiedad de Infinitesimo por Funcion Acotada es justamente que siendo sen(x) una funcion acotada en un entorno reducido de 0, 1/sen(x) no esta acotada en dicho entorno, mas bien tiende a infinito, para asegurarme lo grafique con Derive 6, igual esta idea no se me habia ocurrido y cuando lei tu respuesta estaba chocho porque pense que por fin lo tenia pero lo voy a seguir pensando. Saludos!

Pregunta: Es algún ejercicio en particular de alguna guía?

Lo saque del libro Temas de Calculo(1ra Parte) de Coccola, Recchini Fiorante, que venden en el CEIT, esta en la pagina 62