Buenas. El ejercicio dice:

Halle \[a\in\mathbb{R}\] tal que exista una única Transformación Lineal que cumpla las siguientes condiciones:
\[T(0,2,0)=(2,0,2) ; T(1,0,1)=(0,1,2) ; T(1,1,1)=(a,1,3) \] y
\[Nucleo(T)=(x,y,z)\in\mathbb{R}/2x=-y=-z\]. Justifique.

El problema que tengo es que los 3 vectores que me dan, el (0,2,0) (1,0,1) y (1,1,1) son Linealmente Dependientes, ya que el Determinante de la Matriz formada por estos vectores es igual a 0.
Como los vectores son LD entonces no es posible asegurar la existencia de una transformación lineal, puede ser que exista, o no. Si existe, no sé como encontrarla.
Agradecería ayuda!

fedee90 (así lo ves ajaj ) Holaa a ver, mirá... ahí te dan 3 transformados pero es como decís vos, son LD entonces no se te está cumpliendo el teorema fundamental de las transformaciones lineales. Como estás en R3 necesitás 3 transformados. El núcleo es una recta, entonces va a tener dimensión 1. Primero sacás el vector director de una recta. Ahí es fácil porque te da la ecuación simétrica..

\[2x = - y = z\]

\[\frac{x}{1/2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1}\]

entonces el director es

\[(1/2, -1, 1)\]
para que sea más fácil lo multiplico por 2
\[(1, -2, 2)\]

Ahí tenemos 3 transformados sin contar el que tiene a...

tenés

T (0,2,0) = (2,0,2)
T (1,0,1) = (0,1,2)
T (1, -2, 2) = (0,0,0)

Esos tres vectores que estoy transformando SÍ forman una base de R3, entonces puedo afirmar que la TL existe y es única. Ahoratengo que encontrar la expresión analítica de la transformación. Lo hacés igualando un genérico a la combinación lineal de los tres vectores que tenés transformados (sabés que vas a poder porque ya te aseguraste de que formaran una base), encontrar las coordenadas del genérico en esa base y después transformar ambos miembros de la igualdad:

\[(x,y,z) = \alpha (0,2,0) + \beta (1,0,1 ) + \gamma (1, -2, 2)\]


\[x= \beta +\gamma \]
\[y= 2\alpha -2 \gamma\]
\[z= \beta +2 \gamma \]

bueno resolviendo (yo lo hice por gauss) vas a llegar a que

\[\alpha = 1/2 y + z - x \]
\[\beta= 2x - z\]
\[\gamma = z - x\]

Ahora planteás que

\[T (x,y,z) = \alpha T (0,2,0) + \beta T (1,0,1) + \gamma T (1,-2,2)\]
\[T (x,y,z)= \alpha (2,0,2) + \beta (0,1,2)\]
\[T (x,y,z)= (-2x+y+2z, 2x-z, 2x+y)\]

Ya teniendo la expresión analítica, transformo el (1,1,1)
\[T (1,1,1)= (1, 1, 3)\]

\[(a, 1, 3) = (1, 1, 3) => a=1\]

y listo es medio largo por el tema de sacar la expresión análitica, tal vez alguien lo puede hacer más corto, cualquier cosa chifleen! pero epero que te haya servido y hayas entendido

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Ah, y cambié en el plano, puse z aunque vos pusiste -z porque supuse que te habías confundido porque es igual a un ejercicio de la guía. Igualmente si es con -z el procedimiento es igual.

Muchas Gracias !

Te hago una consulta? Después el ejercicio me pide hallar la imagen de la Transformación.

Si la Dim Nu(T)=1 entonces la dim Img(T)=2 por el teorema de las dimensiones.

¿Puedo decir entonces que [Img(T)]=<(0,2,0)(1,0,1)>? Tomé dos vectores L.I. del enunciado....

Y con eso alcanza? O tengo que poner la expresión analítica también de la Imagen?

La imagen es esa que decis, de echo si agarras la exp analitica y triangulas te tienen que dar esos dos vectores