Buenas, tengo otras dudas ahora.. en otro parcial que me tomaron los enunciados eran así:

Si f es derivable y estrictamente creciente en R entonces \[f(e^{-x}-x^3)\] tambien lo es. V o F

Sea f(x) = g(x)*\[\left | x-1 \right |\] donde g es continua en x=1 y g(1)=6 estudiar la derivabilidad en x=1.
En este yo no entiendo si deben ser iguales las derivadas por definicion.

Halle puntos de la curva de ecuacion \[x=y^2\] que mas cerca estén del punto (5,0). Acá yo vi uno o dos ejercicios que tomaban \[y^2=x/2\] para el reemplazo y no entiendo bien porque

Calcular lim x -> inf \[(x-sen^2(1/x))/(-x+cos^2(1/x))\]. Mi profesora derivó \[sen^2(1/x)\] como \[2sen(1/x)cos(1/x)(-1/x^2) \] pero no estoy seguro que sea asi, tampoco entiendo como es la derivada del\[cos^2(1/x)\]

Pruebe que la ecuación \[x*2^x=1\] admite una raíz positiva menor a 1. Es esta raíz unica?
Acá se que hay que aplicar Bolzano pero no se como justificar que es única, yo use el intervalo (0,1)

Si alguien me puede ayudar de nuevo se lo agradecería muchisimo.

Cita:Pruebe que la ecuación \[x.2^{x}=1\] admite una raíz positiva menor a 1. Es esta raíz unica?

Tomo la funcion \[f(x)=x.2^{x}-1\] y analizo si es continua (se ve a simple vista que lo es)

Analizo en el intervalo (0;1)

\[f(0)=-1\]
\[f(1)=1\]

En consecuencia, admite al menos una raiz en ese intervalo.

Ahora, para ver si es unica, alcanzaria con saber si es estrictamente creciente (o decreciente) en ese intervalo.

Analizamos la derivada:

\[f'(x)=2^{x}(x.log 2+1)\]

Se observa facilmente que en (0,1) la derivada va a ser positiva, por lo tanto la funcion es creciente en ese intervalo, por lo tanto la raiz es unica.

Lo comprobamos con un grafico:




Aunque se ve mejor acá: http://fooplot.com/plot/8gkhmq226a

---

(16-02-2013 21:36)leme123 escribió:  Halle puntos de la curva de ecuacion \[x=y^2\] que mas cerca estén del punto (5,0).

Los puntos de la parabola van a ser de la forma \[(a,a^{2})\] (se entiende por qué?)

La distancia del punto (5,0) a los puntos\[(a,a^{2})\] (por formula de distancia entre 2 puntos) va a ser igual a:

\[D(a)= \sqrt{(a-5)^{2}+(a^{2}-0)^{2}}\]

\[D(a)= \sqrt{a^{2}-10a+25+a^{4}}\]

De ahí es cuestion de hallar los minimos...se entiende como seguirlo?

(16-02-2013 21:45)sentey escribió:  

Cita:Pruebe que la ecuación \[x.2^{x}=1\] admite una raíz positiva menor a 1. Es esta raíz unica?

Tomo la funcion \[f(x)=x.2^{x}-1\] y analizo si es continua (se ve a simple vista que lo es)

Analizo en el intervalo (0;1)

\[f(0)=-1\]
\[f(1)=1\]

En consecuencia, admite al menos una raiz en ese intervalo.

Ahora, para ver si es unica, alcanzaria con saber si es estrictamente creciente (o decreciente) en ese intervalo.

Analizamos la derivada:

\[f'(x)=2^{x}(x.log 2+1)\]

Se observa facilmente que en (0,1) la derivada va a ser positiva, por lo tanto la funcion es creciente en ese intervalo, por lo tanto la raiz es unica.

Lo comprobamos con un grafico:




Aunque se ve mejor acá: http://fooplot.com/plot/8gkhmq226a

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(16-02-2013 21:36)leme123 escribió:  Halle puntos de la curva de ecuacion \[x=y^2\] que mas cerca estén del punto (5,0).

Los puntos de la parabola van a ser de la forma \[(a,a^{2})\] (se entiende por qué?)

La distancia del punto (5,0) a los puntos\[(a,a^{2})\] (por formula de distancia entre 2 puntos) va a ser igual a:

\[D(a)= \sqrt{(a-5)^{2}+(a^{2}-0)^{2}}\]

\[D(a)= \sqrt{a^{2}-10a+25+a^{4}}\]

De ahí es cuestion de hallar los minimos...se entiende como seguirlo?

Ahi me quedaron claros, no estaba derivando bien en el primero y en el segundo es como yo lo planteaba, queria asegurarme nomas que al reemplazar era como estaba la igualdad ahi y no sobre 2 como vi en el final de la fotocopiadora. Muchisimas gracias.

Si alguien mas me da una mano con los demas ejercicios se lo agradeceria

Bumpeo para ver si alguien puede darme una mano con los otros ejercicios, mañana rindo el ultimo recuperatorio de analisis. Gracias.