Dada la transformación lineal \[T:R^{4}\rightarrow R^{3}:T(x,y,z,w)=(x+w,x+y+z,x+y+z)\] encuentre:
- el núcleo, una base del núcleo y su dimensión
- la imagen, una base de la imagen y su dimensión

Bueno yo lo que hice para encontrar el núcleo fue un sistema así:
\[\left\{\begin{matrix}x+w=0\\ x+y+z=0 \\ x+y+z=0\end{matrix}\right.\]

De lo que despejé:
\[y=\frac{-1}{2}x=z\: \:\: \: \: \: \:; \: \: \: \:\: w=-x\: \:\: \: \: \: \:; \: \: \: \:\:\forall x\]

Luego el núcleo me quedó así:
\[N(T)=gen \begin{Bmatrix}(1,\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},-1)\end{Bmatrix}\]

El tema es que el apunte me dice que la solución es esto:


Hice algo mal? gracias!

Fijate que esta mal el despeje que hiciste.... yo lo acabo de hacer en la oficina y me da lo de la guia...fiajte en el despeje muchacho!

solo tenes que utilizar algo de teoria... claramente el rango de la matriz asociada que subiste es 2 entonces tenes que las variables libres seran 2 lo cual coincide con la dimension

del nucleo .... una base del mismo seran las dos primeras filas de la matriz que claramente son li ....

(06-02-2014 13:34)Saga escribió:  solo tenes que utilizar algo de teoria... claramente el rango de la matriz asociada que subiste es 2 entonces tenes que las variables libres seran 2 lo cual coincide con la dimension

del nucleo .... una base del mismo seran las dos primeras filas de la matriz que claramente son li ....

Saga te pregunto, por que la base del nucleo son las dos primeras filas de la matriz? Como lo deducis a eso?

Si no me equivoco:
Igualas a 0 en la exp analitica
Despejas y remplazas en (x,y,z,w) y despues sacas factor comùn

x = -w

y = -x - z

(x , -x -z, z , -x) = x(1,-1,0,-1) + z( 0,-1,1,0) esos son los generadores...igual no da como la rta...


tu respuesta si o si esta mal, ya que vos tenes 2 ecuaciones , en 4 letras...es decir que si o si tiene que tener 2 generadores

(06-02-2014 17:52)Burgar escribió:  Saga te pregunto, por que la base del nucleo son las dos primeras filas de la matriz? Como lo deducis a eso?

como te dije antes... es solo teoria...ahora anda mal el latex en el foro si no te lo explicaba mejor... cuando vos tenes dada la ley de la TL practicamente tenes el 90% del ejercicio .... si escribis esa

ley de forma matricial ... y aplicas un poco de teoria sin muchas cuentas ni pasos matematicos deducis la base del nucleo y la base de la imagen... siempre y cuando te den la ley de la TL ... de otra

manera hay que ver que condiciones te da el enunciado .... las demostraciones respectivas se deducen usando el teorema de roche frobbenius... imagino que lo viste en tu cursada .... en definitiva

si tenes la ley de la TL ... lo escribis de forma matricial... si te piden una base del nucleo analiza siempre que dimension puede llegar a tener luego pivoteas la matriz .. la base del nucleo seran la

cantidad de pivotes que podas encontrar en tu matriz.... para la imagen es lo mismo, pero con las columnas de la matriz... en tu ejercicio es sencillo observar que hay dos columnas ld entonces

una base de la imagen sera

B im(t)={(1,1,1)(0,1,1)}

ya que el (1,0,0) es la resta de ambos

para verificar podes usar el teorema de las dimensiones

Saga es una bestia del Algebra