Hola hice un ejercicio de subespacios pero me gustaría saber si lo resolví bien, para al menos ir pisando sobre firme XD

El ejercicio me da estos dos subespacios

W= gen(0,0,3,-1)

S= (x1,x2,x3,x4) e R4/ x1+x2+2x3-x4= 0, x1+x2-x3=0)

Y tengo que hallar la intersección entre en complemento ortogonal de S y W

Primero saque una base de S asi
X1= -X2+X3 y esto lo reemplace en la ecuacion quedandome
-x2+x3+x2+2x3-x4=0

De aca que saco
x2 (-1,1,0,0) x3 (1,0,2,0) x4 (0,0,0,-1)

A estos vectores los multiplique por (x1,x2,x3,x4) para sacar el complemento ortogenal

(x1,x2,x3,x4) (-1,1,0,0) => -x1+x2 =0 => X1=x2
(x1,x2,x3,x4) (1,0,2,0) => -x1+2x3 =0
(x1,x2,x3,x4) (0,0,0,-1) => -x4= 0

Quedandome el complemento ortogonal
(x1,x2,x3,x4) e R4/ x1=x2 ^ X1 +3x3= 0 ^ -X4=0)

Hice la ecuacion general de W quedandome X1=X2 ^ -3X3=X4

La interseccion que seria todas estas partes

S(ortogonal)∩ W (x1=x2 ^x1+2x3= 0 ^ -3x3=x4 ^x4=0 )

x1=x2 => Como x1 es cero x2 tambien lo es
x1+2x3=0 => como x3 es cero x1 tambien es cero
-3x3=x4 => como x4 es cero, x3 es cero tambien para que se cumpla esto
x4=0


Como todo da cero, seria suma directa

No se si lo hice bien, y me gustaria saber que hice mal ya que me estoy preparando para el parcial que es este viernes

No puede ser que el complemento de S sea mayor que 2 (para este ejercicio en particular) , el rango de la matriz asociada a S es igual a 2 por el teorema de rouche frobbenius

Variables libres = n incognitas -rango de A

2=4-2

tenes dos variables libres por ende el complemento ortogonal S' sera de dimension 2

W es de dimension 1

por el teorema de las dimensiones

\[dim(S'+W)=dim(W)+dim(S')-dim(W \cap S') \]

o equivalentemente

\[dim(S'\cap W)=dim(W)+dim(S')-dim(W +S')=1+2-3=0\]

por lo tanto el complemento de S y W son suma directa

Osea que tengo que tener en cuenta primero el teorema de rouche frobbenius y despues el teorema de las dimenciones y a partir de ahi si no me da que es vacio, hacer el ejercicio?

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Pero si estoy trabajando en R4 no tendria que sumar 4 las dimenciones para que sea suma directa?

(09-07-2014 20:14)Vicks escribió:  Osea que tengo que tener en cuenta primero el teorema de rouche frobbenius y despues el teorema de las dimenciones y a partir de ahi si no me da que es vacio, hacer el ejercicio?

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No es necesario , yo lo hago para saber cuantas variables libres podes tener, asi ya se la dimension de lo que estoy buscando, ahora si te manejas mejor directamente haciendo ecuaciones , esta a gusto de cada uno , eso si, que siempre sea coherente lo que estes haciendo , seguramente tenes algun error de cuenta en algun lado por eso el complemento te quedo de dimension tres

Cita:Pero si estoy trabajando en R4 no tendria que sumar 4 las dimenciones para que sea suma directa?

no necesariamente, pensa si estuviesemos en el espacio y te doy las ecuaciones de dos rectas S y T ambas subespacios de R3

\[S: \alpha(1,0,1)\quad T: \beta(0,1,1)\]

y te pido determinar si la suma es directa, como procederias ??

Haria (x,y,z) = alfa (1,0,1) + beta (0,1,1) y haciendo gaus generaria un nuevo vector para llegar a una tercera dimencion, pero la suma no es directa.

Igual lo del teorema de rouche frobbenius, me sirve para saber cuentas dimenciones puedo tener como maximo. Osea en este caso 4 (el espacio)- 2 (las ecuaciones dadas)= 2 dimenciones y si al hacerlo me dan 3 se que esta mal. Es para eso?

(09-07-2014 21:04)Vicks escribió:  Haria (x,y,z) = alfa (1,0,1) + beta (0,1,1) y haciendo gaus generaria un nuevo vector para llegar a una tercera dimencion, pero la suma no es directa.

De donde sacaste esa definicion ?? en todo caso igualala al (0,0,0).

Para saber si la suma es o no directa basta que saber que los vectores son li nada mas, sin hacer tanta cuenta esos dos vectores que te di lo son, geometricamente esas dos rectas se interesectan en un punto en comun (el origen) cuya dimension es 0 entonces si aplicas el teorema de las dimensiones veras que la suma no siempre es 3 en este caso tenes que la dimension de la suma sera 2 , lo ves

De forma algebraica plantea la intereseccion de rectas (que a esta altura me imagino la sabes) y demostra que la interseccion es posible y justamente se intersectan el en origen

Creo que te estas confundiendo con el concepto de base de un espacio vectorial , en ese caso si necesito 3 vectores de R3

Cita:Igual lo del teorema de rouche frobbenius, me sirve para saber cuentas dimenciones puedo tener como maximo. Osea en este caso 4 (el espacio)- 2 (las ecuaciones dadas)= 2 dimenciones y si al hacerlo me dan 3 se que esta mal. Es para eso?

No son las ecuaciones dadas es el rango de la matriz asociada ojo con eso, pueden darte dos ecuaciones proporcionales asi

x+y+z-t=0

2x+2y+2z-2t=0

entonces el rango de la matriz asociada sera uno , se entiende ??

si vos determinas las variables libres tomando en cuenta el numero de ecuaciones estaria mal que me digas que las variables libres a tomar en este ejemplo son 2, seran 3 , por eso ojo...

Y si te sirve para eso , por algo te lo enseñan en la cursada

Si si, me confundi pense que eran base de un subespacio y aplique eso que lo hicimos en una clase cuando nos faltaba una dimension para "completar"

Me estaba confundiendo y no tenia en cuenta lo de los rangos de las matrices asociadas

Entonces, para verlo en un ejermplo, como seria la ecuacion general de S= (x1,x2,x3,x4) e R4/ x1+x2+2x3-x4= 0, x1+x2-x3=0) ?

(09-07-2014 21:38)Vicks escribió:  Si si, me confundi pense que eran base de un subespacio y aplique eso que lo hicimos en una clase cuando nos faltaba una dimension para "completar"

Me estaba confundiendo y no tenia en cuenta lo de los rangos de las matrices asociadas

ok entonces aclarado el asunto.....

Cita:Entonces, para verlo en un ejermplo, como seria la ecuacion general de S= (x1,x2,x3,x4) e R4/ x1+x2+2x3-x4= 0, x1+x2-x3=0) ?

supongo que te referis a lo siguiente

observa que si acomodo de manera conventiene , por comodidad uso xyzt ok??

\[\\x+y+2z-t=0\\x+y-z=0\]

si resto fila 1 menos fila dos obtengo

\[3z-t=0\]

de donde \[t=3z\] reemplazando en la primera \[x=z-y\]

entonces ya tengo mis dos variables libres zy luego

\[S=gen\left \{ (z-y,y,z,3z) \right \}\]

una base sera

\[B_S\left \{ (1,0,1,3)(-1,1,0,0) \right \}\]

Listo! muchisimas gracias! con eso me guio mas y ya se una de las cosas que estaba errando. Muchas gracias de nuevo!