Necesito ayuda con la siguiente demostración:

Hola

Es preferible que utilices LaTeX para escribir la matemática.

Transcribo el enunciado:

Enunciado escribió:a) Supongamos que el espacio muestral es \(S=\{x_1,\dots,x_n\}\) y que \(p(\{x_j\})=p_j\), \(j=1,\dots,n\). Probar que para cada \(A\subseteq S\), se tiene que \[p(A)=\sum_{j\colon x_j\in A}p_j,\] donde dicho símbolo significa sumar sobre todos los índices \(j\) tal que el resultado \(x_j\) está en \(A\). Si todos los resultados son igualmente probables, ¿cuánto vale \(p_j\) para todo \(j\)? Mostrar que en ese caso, \(p(A)=\frac{|A|}n\).

b) Repetir el punto anterior pero para \(S=\{x_j\}_{j=1}^\infty\) (es decir, \(S\) infinito). ¿Pueden ser en este caso, todos los resultados igualmente probables?

Las demostraciones dependen del contexto. Utilizando los axiomas de Kolmogorov el resultado en (a) sale de manera inmediata del tercer axioma, pero también se puede ver desde un contexto de teoría de la medida, llevando esencialmente a lo mismo ya que cada \(\{x_j\}\) es disjunto de \(\{x_k\}\) cuando \(x_j\neq x_k\).

Tanto el tercer axioma de Kolmogorov como la definición de medida nos dan que si \(A_1,A_2,\dots,A_n\) es una colección finita de eventos disjuntos entre sí entonces \(p(\bigcup_{k=1}^n A_k)=\sum_{k=1}^n p(A_k)\).

Luego para la segunda parte del apartado (a): si cada evento atómico es equiprobable y hay \(n\) eventos atómicos distintos entonces la probabilidad de cada uno será \(1/n\), ya que la suma de todos debe ser uno.

Por otro lado (b) es el caso límite del apartado anterior, así que no es posible que todos los eventos atómicos sean equiprobables porque hay infinitos, y no existe constante real que pueda sumarse infinitas veces y dé uno.

Saludos.

P.D. Cambié el nombre del título por uno más acorde al hilo.