Hola que tal queria saber si me pueden ayudar con este ejercicio que me estoy rompiendo la cabeza y no me sale :



La respuesta es e^(1/3).

Hola!

hay que aplicar la siguiente propiedad:

Lim (1 + 1/f(x))^f(x) = e
x->a

vamos a ver como podemos llevar tu función a una forma como esa.

tenemos (tan x/x)^(1/x^2)

ahora sumamos y restamos 1 dentro del primer paréntesis de la siguiente forma (esto es legal, ya que sumar y restar 1 es como sumar 0, no afecta el resultado):

(1 -1 + tan x/x)^(1/x^2)

ahora realizamos la operación -1 + (tan x)/x, esto es igual a (tan (x) - x)/x por lo tanto, la expresión es igual a:

(1 + (tan (x) - x)/x)^(1/x^2)

ahora, (tan (x) - x)/x puede escribirse como 1/[x/(tan(x) - x)], por lo tanto, la expresión es lo mismo que:

(1 + 1/[x/(tan(x) - x)])^(1/x^2)

lo siguiente es elevar toda la expresión a [x/(tan(x) - x)]/[x/(tan(x) - x)], que es lo mismo que elevar a la 1, no afecta al resultado:

[1 + 1/[x/(tan(x) - x)]]^[[x/(tan(x) - x)]/[x(x^2)/(tan(x) - x)]]

y esto es igual a:

{[1 + 1/[x/(tan(x) - x)]]^[[x/(tan(x) - x)]} ^ [(tan(x) - x)/(x^3)]

todo lo que esta entre llaves tiende a el numero de Euler, e, por la propiedad mencionada al comienzo. la potencia [(tan(x) - x)/(x^3)] produce una indeterminación cuando x tiende a 0, por lo tanto, podemos aplicar L`hopital:

lim [(tan(x) - x)/(x^3)] =
x->0

y este limite sale de aplicar L`hopital 3 veces que te lo dejo a vos porque se hace tedioso, pero el ultimo limite da 1/3, por lo tanto el limite es efectivamente, e^(1/3)

Saludos!

Muchas gracias si estuve mucho tiempo haciendo lhopital pero no llegue al resultado te agradesco la respuesta.

Si ya se, por l'hopital se hace extenso, yo no lo hice por l'hopital, evalué el límite en el mathematica y da 1/3 así que por l'hopital se debería poder llegar perfectamente a ese resultado.