Buenas,

A ver si alguien me puede dar una mano con este ejercicio:

En R - {0}
aRb <=> a+1/a = b+1/b

Pide demostrar que es una relación de equivalencia (lo hice y cumple)
Dar las clases de equivalencia y el conjunto cociente (esto es lo que no me sale)

Gracias y saludos!

Las clase tenes que darlas de forma generica porque no es finito el conjunto que te dan.

lo vas a dar con a;
Cl a={a \[\epsilon \] R / aRx}
Cl a= {a \[\epsilon\] \[\sim\] / a+1/a = x+1/x } y aca despejas x.
te terminaria dando un lio = x, eso es dar la clase generica. y el conjunto cociente das la clase de a fijandote que no se repitan, creo que no

\[a + \frac{1}{a} = b + \frac{1}{b}\]

\[\frac{a^{2}+1}{a} = \frac{b^{2}+1}{b}\]

\[\frac{a^{2}b + b - ab^{2} - a}{ab} = 0\]

\[a^{2}b + b - ab^{2} - a = 0\]

\[\left ( ab -1 \right )\left ( a -b \right ) = 0\]

\[\rightarrow a = b \vee a = \frac{1}{b}\]

Si calculé bien, entonces:

Clase de equivalencia general: \[\bar{x} = \left \{ x ; \frac{1}{x}\right \}, x \epsilon \Re -\left \{ 0 \right \}\]

Conjunto cociente: \[\frac{\Re }{R} = \left \{ \bar{x} \right \}\]

(25-07-2014 15:13)gan escribió:  \[\frac{a+1}{a} = \frac{b+1}{b}\]

\[\frac{a}{a}+\frac{1}{a} = \frac{b}{b}+\frac{1}{b}\]

\[\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\]

\[\rightarrow a=b\]

Clase de equivalencia general: \[\bar{x} = \left \{ x\right \}, x \epsilon \Re -\left \{ 0 \right \}\]

Conjunto cociente: \[\frac{\Re }{R} = \left \{ \bar{x} \right \}\]

x + 1/x = a + 1/a

Si sacás denominador común te queda => (x^2+1)/x = (a^2+1)/a

mattiascaricato Leí mal la fórmula, ahí actualicé mi mensaje anterior, creo que ahora está bien. La próxima estás invitado a usar la herramienta LaTeX para escribir fórmulas en los mensajes

(25-07-2014 18:32)gan escribió:  mattiascaricato Leí mal la fórmula, ahí actualicé mi mensaje anterior, creo que ahora está bien. La próxima estás invitado a usar la herramienta LaTeX para escribir fórmulas en los mensajes

Buenísimo, faltaría un paso más:
como a=b, remplazo:

\[b=\frac{1}{b}\]

\[b^{2}=1\]

\[|b|=1 \Rightarrow b=1 \ \vee \ b=-1\]

\[\frac{\Re }{R}= \{Cl(a) / a \ \in [-1;0) \cup (0;1]\}\]

gan, cómo llegaste a esto?

\[\left ( ab -1 \right )\left ( a -b \right ) = 0\]

Y gracias por el dato de LaTeX!

Saludos.

Off-topic:

Es \in: \[a \in [-1;0) \cup (0;1]\]

(26-07-2014 01:43)Dios escribió:  

Off-topic:

Es \in: \[a \in [-1;0) \cup (0;1]\]

Gracias Dios!